Fonctions numériques différentiables
Fonctions à variations bornées

1 - Rappels liminaires sur les fonctions

2 - Éléments de théorie de la mesure

• 2.1 - σ-algèbres et mesures
• 2.2 - Propriétés
• 2.3 - Mesures sur un espace topologique
• 2.4 - Mesures de Radon et mesures vectorielles
• 2.5 - Mesure de Lebesgue
• 2.6 - Fonctions mesurables et fonctions étagées
• 2.7 - Densité d’une mesure
• 2.8 - Mesures extérieures
• 2.9 - Mesure extérieure de Lebesgue
• 2.10 - Mesures de Hausdorff

3 - Fonctions numériques intégrables

• 3.1 - Définitions
• 3.2 - Fonctions intégrables
• 3.3 - Fonctions localement intégrables
• 3.4 - Fonctions p-intégrables et localement p-intégrables
• 3.5 - Fonctions intégrables pondérées

4 - Fonctions numériques différentiables

• 4.1 - Définitions
• 4.2 - Fonctions dérivables à l’ordre k
  Figure 2 - Fonction continue, mais non dérivable (d’après Wikipédia) Figure 3 - Fonction dérivable, mais non continument dérivable (d’après Wikipédia)
• 4.3 - Fonctions indéfiniment dérivables
• 4.4 - Régularité différentielle
• 4.5 - Fonctions régularisantes
• 4.6 - Fonctions plates

5 - Fonctions numériques généralisées (distributions)

• 5.1 - Définition
• 5.2 - Dérivées distributionnelles
• 5.3 - Espaces de Sobolev
• 5.4 - Opérateurs traces
• 5.5 - Inégalités de Poincaré

6 - Fonctions numériques à variations bornées d’une variable

• 6.1 - Définition
• 6.2 - Propriétés
• 6.3 - Exemple et contre-exemples
  Figure 4 - Représentation graphique de la fonction de Dirichlet (d’après Wikipedia) Figure 5 - Représentation graphique de la fonction de Cantor sur l’intervalle [0,1] (d’après Wikipedia) Figure 6 - Représentation graphique de la fonction de Weierstrass-Hardy f1/2,3 sur l’intervalle [–2,2] (d’après Wikipedia)

7 - Fonctions numériques à variations bornées de plusieurs variables

• 7.1 - Définitions
• 7.2 - Propriétés fonctionnelles
• 7.3 - Opérateur trace
• 7.4 - Décomposition de la dérivée
• 7.5 - Inégalités de Poincaré
• 7.6 - Sections d’une fonction à variation bornée

8 - Fonctions numériques à variations bornées particulières

• 8.1 - Fonctions continûment dérivables
• 8.2 - Fonctions absolument continues
  Figure 7 - Fonction de Cantor (d’après Wikipédia)
• 8.3 - Fonctions monotones
• 8.4 - Fonctions lipschitziennes

9 - Ensembles de Caccioppoli

• 9.1 - Définition
• 9.2 - Propriétés
• 9.3 - Frontière réduite
• 9.4 - Théorème de divergence
• 9.5 - Formule de la co-aire
• 9.6 - Exemples et contre-exemples
  Figure 8 - Exemple d’ensemble de Caccioppoli

10 - Généralisations, extensions et restrictions

• 10.1 - Fonctions à variations bornées à traces nulles
• 10.2 - Fonctions numériques localement à variations bornées
• 10.3 - Fonctions à variations bornées pondérées
• 10.4 - Fonctions à variations bornées spéciales
• 10.5 - Fonctions à variations bornées à valeurs vectorielles
• 10.6 - Fonctions à variations bornées aléatoires
• 10.7 - Fonctions à variations bornées dans un espace métrique

11 - Applications à l’analyse fonctionnelle

• 11.1 - Étude des discontinuités d’une fonction réelle
  Figure 9 - Discontinuité de première espèce dite « apparente » (d’après Wikipedia) Figure 10 - Discontinuité de première espèce de type saut (d’après Wikipedia) Figure 11 - Discontinuité de seconde espèce dite « essentielle » (d’après Wikipedia) Figure 12 - Fonction sinus du topologiste (d’après Wikipedia)
• 11.2 - Équations différentielles
• 11.3 - Équations intégrales
• 11.4 - Calcul des variations

12 - Applications à la géométrie

• 12.1 - Problème de Plateau
  Figure 13 - Caténoïde (d’après Wikipedia) Figure 14 - Matérialisation d’une caténoïde en film de savon (d’après Wikipedia)
• 12.2 - Isopérimétrie
  Figure 15 - Isopérimétrie dans le plan euclidien
• 12.3 - Géométrie stochastique : modèles booléens
  Figure 16 - Simulation de deux modèles booléens planaires

13 - Applications aux probabilités et statistiques

• 13.1 - Fonctions de répartition
  Figure 17 - Fonctions de répartition (d’après Wikipedia)
• 13.2 - Analyse et synthèse de texture
  Figure 18 - Décomposition additive d’image en trois composantes (d’après [6])

14 - Applications à la physique

• 14.1 - Systèmes de réaction-diffusion
  Figure 19 - Simulation numérique d’une équation de Fisher–KPP (d’après Wikipedia) Figure 20 - Simulation numérique d’une équation de Fitzhugh et Nagumo (d’après Wikipedia) Figure 21 - Simulation numérique d’une réaction de Belousov–Zhabotinsky (d’après Wikipedia)
• 14.2 - Séparation de phases et équation différentielle de Cahn et Hilliard
  Figure 22 - Décomposition spinodale » (d’après Wikipedia)
• 14.3 - Viscosité et équations différentielles de Hamilton et Jacobi
• 14.4 - Dynamique des fluides et équations intégrales de Hammerstein

15 - Applications à l’imagerie mathématique

• 15.1 - Débruitage d’images par minimisation de la variation totale
  Figure 23 - Débruitage d’image (d’après [17])
• 15.2 - Segmentation d’images par minimisation de fonctionnelles
  Figure 24 - Exemple d’application de segmentation d’image via la fonctionnelle de Mumford et Shah (d’après [20])
• 15.3 - Décomposition d’image
  Figure 25 - Exemple d’application de segmentation d’image via la fonctionnelle de Mumford et Shah (d’après [20]) Figure 26 - Exemple d’application de segmentation d’image via la fonctionnelle de Mumford et Shah (d’après [20])

16 - Conclusion

17 - Glossaire des notations et vocabulaire