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RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XXe siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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MOTS-CLÉS
espaces de Lebesgue espaces de Sobolev ensembles de Caccioppoli opérateur trace mesures de Radon
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9. Ensembles de Caccioppoli
La notion d’ensemble de Caccioppoli a été introduite en 1927-28 par le mathématicien italien R. Caccioppoli (1904-1959), puis développée en 1952-1958 par le mathématicien italien E. de Giorgi (1928-1996). Cette notion constitue la base de la théorie moderne des périmètres (modern theory of perimeters).
9.1 Définition
Définition (périmètre) (Caccioppoli, 1927). Soit U un ouvert non vide de
et B un sous-ensemble borélien de
. Le périmètre (perimeter) de B dans U, noté Per(B,U), est la variation totale de la fonction indicatrice 1B de B dans U :
Si
, alors il s’agit du périmètre (global) de B, noté simplement Per(B).
Définition (ensemble de Caccioppoli) (Caccioppoli, 1927). Un ensemble de Caccioppoli (Caccioppoli’s set) est un sous-ensemble borélien de
de périmètre fini dans tout ouvert non-vide borné U de
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBERTI (G.), MANTEGAZZA (C.) - A Note on the Theory of SBV Functions, - Bollettino Unione Matematica Italiana Sezione B, Vol. 7, n° 11, pp. 375-382 (1997).
-
(2) - AMBROSIO (L.) - Metric space valued functions with bounded variation, - Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, tome 17, pp. 291-322 (1990).
-
(3) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) - Functions of bounded variation and free discontinuity problems, - Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (2000).
-
(4) - AMBROSIO (L.), TORTORELLI (V.M.) - Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via Γ-convergence, - Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 43, n° 8, pp. 999-1036 (1990).
-
(5) - BALDI (A.) - Weighted BV functions, - Houston Journal of Mathematics, Vol. 27, n° 3, pp. 683-705 (2001).
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