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RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XXe siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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espaces de Lebesgue espaces de Sobolev ensembles de Caccioppoli opérateur trace mesures de Radon
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Fonctions numériques intégrables2. Éléments de théorie de la mesure
La théorie de la mesure (measure theory) tient un rôle important tant concernant les aspects fondamentaux qu’appliqués pour les fonctions à variations bornées. L’analyse fine de ces fonctions requiert en effet des notions précises de la théorie de la mesure. L’objet de cette section est de rappeler a minima les notions utiles à cet article [AF 213].
2.1 σ-algèbres et mesures
Soit E un ensemble non vide quelconque. Muni d’une σ-algèbre
, la paire
est appelée un espace mesurable (measurable space).
Définition (mesure). Soit
un espace mesurable. Une mesure (measure) est une fonction ensembliste qui à un membre de
associe une « magnitude » (i.e. un nombre entier, réel ou complexe).
Exemples (mesures) : des exemples de mesures incluent l’aire et le volume, où les sous-ensembles sont des ensembles de points, ou la probabilité d’un événement, qui est un sous-ensemble de résultats possibles dans un espace de probabilité plus large.
Muni d’une mesure µ, le triplet
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Éléments de théorie de la mesure
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBERTI (G.), MANTEGAZZA (C.) - A Note on the Theory of SBV Functions, - Bollettino Unione Matematica Italiana Sezione B, Vol. 7, n° 11, pp. 375-382 (1997).
-
(2) - AMBROSIO (L.) - Metric space valued functions with bounded variation, - Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, tome 17, pp. 291-322 (1990).
-
(3) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) - Functions of bounded variation and free discontinuity problems, - Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (2000).
-
(4) - AMBROSIO (L.), TORTORELLI (V.M.) - Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via Γ-convergence, - Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 43, n° 8, pp. 999-1036 (1990).
-
(5) - BALDI (A.) - Weighted BV functions, - Houston Journal of Mathematics, Vol. 27, n° 3, pp. 683-705 (2001).
-
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