Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XXe siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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espaces de Lebesgue espaces de Sobolev ensembles de Caccioppoli opérateur trace mesures de Radon
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Fonctions numériques à variations bornées d’une variable5. Fonctions numériques généralisées (distributions)
La notion de fonctions généralisées (generalized functions) étend celle de fonctions ordinaires (ordinary functions). Cette notion apparait implicitement avec la « fonction » de Dirac (1926) et même auparavant avec la fonction de Green (1828). La notion de fonction définie presque partout peut même être considérée comme explicitement le premier précurseur moderne (Lebesgue, 1904).
Alors qu’une fonction ordinaire f agit sur les points de son domaine de définition en associant à un point x de ce domaine une valeur f(x) de son domaine de valeur, l’idée alternative est de prendre en compte les valeurs de f aux points dans un voisinage du point x et de considérer une fonction généralisée T (dans cet article une distribution) en tant qu’opérateur sur des fonctions particulières dites fonctions tests (test functions).
La théorie des distributions (distribution theory) étend la notion de dérivation à toutes les fonctions localement intégrables et même au-delà. Elle fut introduite en 1936 par le mathématicien russe S. Sobolev (1908-1989), puis finalisée en 1951 par le mathématicien français L. Schwartz (1915-2002). Cette théorie a été appliquée avec succès pour formuler des solutions à des équations aux dérivées partielles, notamment en physique, en mécanique et en ingénierie.
5.1 Définition
Définition (distribution). Soit U un ouvert non vide de
. Une distribution au sens de Schwartz ou simplement une distribution (distribution) est une fonctionnelle à valeurs réelles, linéaire et continue sur l’espace des fonctions dites tests (test functions)
, génériquement noté
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBERTI (G.), MANTEGAZZA (C.) - A Note on the Theory of SBV Functions, - Bollettino Unione Matematica Italiana Sezione B, Vol. 7, n° 11, pp. 375-382 (1997).
-
(2) - AMBROSIO (L.) - Metric space valued functions with bounded variation, - Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, tome 17, pp. 291-322 (1990).
-
(3) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) - Functions of bounded variation and free discontinuity problems, - Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (2000).
-
(4) - AMBROSIO (L.), TORTORELLI (V.M.) - Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via Γ-convergence, - Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 43, n° 8, pp. 999-1036 (1990).
-
(5) - BALDI (A.) - Weighted BV functions, - Houston Journal of Mathematics, Vol. 27, n° 3, pp. 683-705 (2001).
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