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RÉSUMÉ
Cet article a pour thème la présentation des bases des géométries affine et euclidienne. Pour commencer, un rappel est fait sur la géométrie vectorielle : les notions d’espace vectoriel, de base et d’application linéaire. Les notions d’espace, de sous-espace et de groupe affine sont ensuite présentées. La géométrie euclidienne s’impose ensuite, la géométrie affine ne donnant pas les outils nécessaires pour mesurer les distances ou les angles. Sont alors introduites les notions d'espace euclidien, de distance, d'angle et d'orthogonalité ainsi que les similitudes et les isométries avec leurs groupes et leurs invariants respectifs, en particulier la classification détaillée des coniques et des quadriques par rapport aux isométries.
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Gudrun ALBRECHT : Professeur des universités - Université Lille Nord de France - UVHC, LAMAV-CGAO Valenciennes
INTRODUCTION
Ce dossier est consacré à la présentation des bases des géométries affine et euclidienne. Dans ce but, nous évoquerons tout d'abord la géométrie vectorielle. Comme l'indique son nom, les éléments de base de la géométrie vectorielle sont les vecteurs, auxquels une structure est imposée par la notion d'espace vectoriel. Le concept de point, bien utile pour de nombreuses applications, est inconnu en géométrie vectorielle. Il nécessite des notions supplémentaires et constitue le fondement de la géométrie affine. L'espace affine lui fournit une structure qui associe vecteurs et points, permettant de les manipuler ensemble. Toutefois la géométrie affine ne donne pas les outils nécessaires pour mesurer les distances ou les angles. Cela deviendra possible en passant à la géométrie euclidienne. L'espace euclidien, un espace affine particulier, permettra, sur la base de la notion du produit scalaire, de mesurer des distances entre deux points ainsi que des angles entre deux droites. Suivant Felix Klein qui, dans son programme d'Erlangen, a identifié « la géométrie » avec « la théorie des invariants d'un groupe de transformation », nous évoquerons les invariants des géométries affine et euclidienne. Vu leur importance dans les applications, nous traiterons en particulier les classifications affines et euclidiennes des coniques dans le plan et des quadriques dans l'espace tridimensionnel.
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3. Géométrie affine
3.1 Espace affine
Alors que, en géométrie vectorielle, les éléments de base sont des vecteurs, la géométrie affine traite des ensembles de points . Ces points sont regroupés en une structure appelée espace affine qui est défini à l'aide d'un espace vectoriel (figure 8).
Définition 6. Soit :
1. A≠ ⊘ un ensemble (de points) non vide ;
2.
un espace vectoriel sur le corps
;
3.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRECHT (G.) - Géométrie projective - Editions T.I. Base documentaire « Mathématiques pour l'ingénieur » [AF 206] (2008).
-
(2) - BERGER (M.) - Géométrie 1. Action de groupes espaces affines et projectifs - Cedic/Fernand Nathan volume 1, Paris (1977).
-
(3) - BERGER (M.) - Géométrie 2. Espaces euclidiens, triangles, cercles et sphères - Cedic/Fernand Nathan volume 2, Paris (1977).
-
(4) - BERGER (M.) - Géométrie 4. Formes quadratiques, quadriques et coniques - Cedic/Fernand Nathan volume 4, Paris (1978).
-
(5) - BRICARD (R.) - Cinématique et mécanismes - Armand Colin, Paris (1953).
-
(6) - BRONSON (R.) - Matrix methods. An introction - Academic Press, New York (1969).
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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