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RÉSUMÉ
L’analyse numérique étudie les méthodes, appelées constructives, de résolution numérique des problèmes. Cet article débute par la présentation de la problématique posée par la programmation sur ordinateur des méthodes d’analyse numérique. Sont ensuite abordées successivement l’erreur d’interpolation, l’approche de la quadrature numérique, l’intégration des équations différentielles puis la théorie de l’approximation, qui constitue à elle seule une partie fondamentale de l’analyse numérique.
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Claude BREZINSKI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Il est bien connu que les méthodes utilisées en mathématiques classiques sont incapables de résoudre tous les problèmes. On ne sait pas, par exemple, donner une formule pour calculer exactement le nombre x unique qui vérifie x = exp (– x) ; on ne sait pas non plus trouver la solution analytique de certaines équations différentielles ni calculer certaines intégrales définies. On remplace alors la résolution mathématique exacte du problème par sa résolution numérique qui est, en général, approchée. L’analyse numérique est la branche des mathématiques qui étudie les méthodes de résolution numérique des problèmes, méthodes que l’on appelle constructives. Par méthode constructive, on entend un ensemble de règles (on dit : algorithme) qui permet d’obtenir la solution numérique d’un problème avec une précision désirée après un nombre fini d’opérations arithmétiques.
L’analyse numérique est une branche assez ancienne des mathématiques. Autrefois, en effet, les mathématiciens développaient les outils dont ils avaient besoin pour résoudre les problèmes posés par les sciences de la nature. C’est ainsi que Newton était avant tout un physicien, Gauss un astronome… Ils s’aperçurent rapidement que les problèmes pratiques qui se posaient étaient trop compliqués pour leurs outils et c’est ainsi que, peu à peu, s’élaborèrent les techniques de l’analyse numérique. Ces méthodes ne connurent cependant leur essor actuel qu’avec l’avénement des ordinateurs à partir des années 1945-1947.
Ce qui suit n’est pas un cours théorique d’analyse numérique. Il existe d’excellents livres pour cela. Ce n’est pas non plus un catalogue de méthodes et de recettes. Pour être utilisées correctement et pour que leurs résultats soient interprétés correctement, les méthodes d’analyse numérique nécessitent une connaissance des principes de base qui ont guidé les mathématiciens ; il est très difficile, voire impossible, d’utiliser un algorithme d’analyse numérique comme une boîte noire. Pour ces raisons, une voie médiane a été choisie et les algorithmes sont toujours replacés dans leur contexte théorique ; le lecteur soucieux des démonstrations pourra se référer à la littérature correspondante.
Les méthodes d’analyse numérique sont destinées à être programmées sur ordinateur. L’arithmétique de l’ordinateur n’a qu’une précision limitée (par la technologie), ce qui pose souvent des problèmes extrêmement importants qu’il faut pouvoir analyser et éviter. C’est pour cela que le premier paragraphe est consacré à cette question.
Il existe, naturellement, de très nombreux ouvrages d’analyse numérique. Comme références, on pourra consulter [2] [6] [22] [25] [30] [37] [40].
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5. Approximation
La théorie de l’approximation constitue une partie fondamentale de l’analyse numérique. De nombreuses questions étudiées dans les paragraphes précédents peuvent se formuler dans le cadre de cette théorie : approximation d’une fonction par un polynôme d’interpolation, d’une intégrale par une somme finie, de la solution d’une équation différentielle, etc.
Nous allons donner les notions de base de la théorie de l’approximation ; elles feront appel à un minimum de connaissances en analyse fonctionnelle, mais nous n’entrerons pas dans les détails qui pourront être étudiés dans [19] [31] ; nous nous intéresserons plus à des exemples pour montrer la richesse de cette théorie et la puissance de l’outil que constitue l’analyse fonctionnelle. Le premier mathématicien à attirer l’attention sur l’intérêt que pouvait présenter l’analyse fonctionnelle dans le développement de l’analyse numérique fut le Russe L.V. Kantorovich en 1948.
Les idées et les méthodes de l’analyse fonctionnelle jouent un rôle important, voire fondamental, en analyse numérique quand les mathématiques du problème dépendent beaucoup de l’analyse fonctionnelle (par exemple, dans les équations aux dérivées partielles), lorsque l’on cherche à traiter d’un seul coup une classe entière de méthodes (par exemple, les méthodes de quadrature de type interpolation) ou encore à démontrer l’existence de méthodes numériques présentant certaines caractéristiques. L’analyse fonctionnelle apporte alors une simplification importante ; elle joue, par contre, un rôle moins fondamental pour étudier un algorithme précis ou pour résoudre un problème spécifique et ne sera d’aucune utilité en ce qui concerne l’implémentation d’une méthode sur ordinateur. Actuellement, l’analyse fonctionnelle est un outil essentiel pour comprendre bon nombre de méthodes d’analyse numérique, mais on peut également trouver de nouvelles méthodes numériques sans son secours.
Réciproquement, certains algorithmes découlent directement des méthodes de l’analyse fonctionnelle. On doit la considérer comme un outil privilégié pour résoudre certains problèmes d’analyse numérique, mais on ne peut pas, inversement, considérer l’analyse numérique comme une branche de l’analyse fonctionnelle ; ce sont deux domaines...
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