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RÉSUMÉ
Cet article est consacré à l’algèbre numérique linéaire et non linéaire. Sont exposées dans un premier temps les méthodes de calcul des racines d’une équation non linéaire à une inconnue, puis celles d’un polynôme, pour conduire à la résolution d’équations non linéaires. Sont abordées ensuite les méthodes numériques pour résoudre les équations linéaires, les directes comme les itératives. Pour terminer, est traité le calcul des valeurs et des vecteurs propres d’une matrice par des méthodes itératives.
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-
Claude BREZINSKI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Ce second dossier sur les méthodes numériques de base concerne l’algèbre numérique linéaire et non linéaire.
Le premier paragraphe est consacré aux méthodes itératives pour calculer les racines d’une équation non linéaire à une inconnue (ou, ce qui revient au même, les points fixes d’une fonction). On traite ensuite le cas particulier de la recherche des racines d’un polynôme. Le paragraphe se termine par les méthodes de résolution des systèmes d’équations non linéaires.
On étudie ensuite les méthodes numériques pour résoudre les systèmes d’équations linéaires. Ces méthodes se divisent en deux classes : les méthodes directes qui fournissent la solution exacte en un nombre fini d’opérations arithmétiques (en supposant nulles les erreurs dues à l’arithmétique de l’ordinateur) et les méthodes itératives qui génèrent une suite de vecteurs convergeant (sous certaines conditions) vers la solution exacte. Pour les systèmes de très grandes dimensions, il est impératif d’utiliser une méthode itérative.
On passe enfin, dans le dernier paragraphe, aux méthodes numériques pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice. Ces méthodes sont toutes des méthodes itératives.
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3. Calcul des valeurs propres
Les méthodes de calcul des valeurs propres d’une matrice se scindent en deux classes suivant que l’on désire les calculer toutes ou calculer seulement celles de plus grand module.
On trouvera des développements sur les méthodes de calcul des valeurs propres dans les références [1] [21] [30] [38]. Mais il faudra surtout consulter [13] qui est un ouvrage de référence sur le sujet.
3.1 Méthode de la puissance
Elle entre dans la seconde classe.
Soit A la matrice dont on veut calculer les valeurs propres λ 1, …, λn . Nous supposerons celles-ci numérotées suivant l’ordre décroissant de leurs modules :
Soit x 1 , x 2 , …, xn les vecteurs propres correspondants. La méthode de la puissance consiste à choisir un vecteur u 0 puis à construire la suite de vecteurs (uk ) par :
et à calculer la suite de nombres :
avec :
- y :
- vecteur arbitraire
- (.,.) :
- produit scalaire de deux vecteurs.
On a le théorème 14.
Théorème 14 – Si x 1 , x 2 , …, xn forment une base, si λ 1 = … = λr , si │λr │ > │λ r +1 │, si (u 0 , xi ) ¹ 0...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), DEMMEL (J.), DONGARRA (J.), RUHE (A.), VAN DER VORST (H.) - Templates for the solution of algebraic eigenvalue problems : a practical guide. - SIAM, Philadelphia (2000).
-
(2) - BARRAUD (A.) éd - Outils d’analyse numérique pour l’automatique. - Hermès, Paris (2002).
-
(3) - BARRETT (R.), BERRY (M.), CHAN (T.), DEMMEL (J.), DONATO (J.), EIJKHOUT (V.), POZO (R.), ROMINE (C.), VAN DER VORST (H.) - Templates for the solution of linear systems : building blocks for iterative methods. - SIAM, Philadelphia (1994).
-
(4) - BREZINSKI (C.) - Padé-type approximation and general orthogonal polynomials. - Basel, Birkhäuser (1980).
-
(5) - BREZINSKI (C.) - Projection methods for systems of equations. - North-Holland, Amsterdam (1997).
-
(6) - BREZINSKI (C.), GAUTSCHI (W.) - A compendium of numerical methods. - Birkhäuser,...
1 Publications concernant l’analyse numérique
(liste par ordre alphabétique et non limitative)
Advances in Computational Mathematics
Applied Numerical Mathematics
BIT Numerical Mathematics
Computer Aided Geometric Design
Constructive Approximation
Journal of Approximation Theory
Journal of Computational and Applied Mathematics
Mathematics of Computation
Numerische Mathematik
Numerical Algorithms
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Scientific Computing
Il existe également des journaux plus spécialisés dans certains domaines de l’analyse numérique.
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(liste non exhaustive)
Le plus connu est bien évidemment MATLAB http://www.mathworks.fr/
Un guide concernant les logiciels de calcul disponibles peut être consulté sur : http://gams.nist.gov/
On pourra également se procurer des logiciels à l’adresse : http://www.netlib.org
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