Article de référence | Réf : AF5050 v1

Forme particulière des équations de mouvement
Simulation des mécanismes - Topologie, géométrie, cinématique

Auteur(s) : Michel FAYET

Date de publication : 10 juil. 2006

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Présentation

RÉSUMÉ

Les simulations des mécanismes se font à l’aide de logiciels qui permettent d’accéder aux équations des mouvements et des interactions entre les différents solides d’un système. Les moyens de calcul actuels viennent maintenant à bout des problèmes les plus complexes. Suivant le type de logiciel choisi (ADAMS, DADS, COMPAK…), le type de coordonnées retenues pour décrire le mouvement n’est pas identique, et au final les équations exploitables (de liaison ou de dynamique) ne seront pas les mêmes.

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ABSTRACT

 

Auteur(s)

  • Michel FAYET : Professeur émérite des universités - INSA (Lyon)

INTRODUCTION

On connaît sans doute les logiciels tels que ADAMS, DADS, MECHANICA, COMPAM, SYMPACK, etc. Les différents dossiers portant le titre « Simulation des mécanismes » à paraître dans les Techniques de l’Ingénieur sont destinés à en exposer la théorie.

Il s’agit de logiciels qui permettent de connaître le mouvement et les actions entre solides d’un système complexe. Avant l’existence des moyens de calcul puissants d’aujourd’hui, la mise en équations d’un problème comportant un nombre de degrés de liberté, ne serait-ce que supérieur à 5, était un travail extrêmement fastidieux. Quant à sa résolution, même pour des cas très simples, elle se révélait encore plus difficile, voire impossible, et très souvent on se contentait de l’envisager dans le cas très restrictif de petits mouvements autour d’un état de mouvement connu.

Avec le développement de l’informatique, ces questions peuvent maintenant être abordées. Mais il est utile de connaître les écueils qui peuvent se présenter dans l’usage des logiciels du type de ceux qui ont été cités précédemment, différents d’ailleurs, d’un logiciel à l’autre suivant les principes qu’ils mettent en œuvre. C’est l’objectif de ces dossiers. D’autre part, très souvent, une entreprise industrielle souhaite avoir la maîtrise complète de son outil de simulation et en construit elle-même en vue d’une catégorie d’applications bien particulières. Les ingénieurs trouveront-là la plupart des éléments utiles à ce genre de travail. Tous ces éléments font partie d’une spécialité dans le domaine scientifique appelée « théorie des systèmes multicorps ». Les auteurs les plus connus dans ce domaine ont pour noms Haug, Nikravesh, Wittenburg, Schielen, Shabana...

On peut distinguer deux grandes catégories de logiciels de simulation des mécanismes selon le choix qu’ils font du type de coordonnées retenues pour décrire le mouvement.

Les premiers, souvent les plus anciens, mais aussi, pour cette raison notamment, les plus répandus, décrivent la position de chaque solide indéformable par rapport au repère de référence (ou galiléen) par, en général, six coordonnées et chaque liaison donne lieu à un nombre d’équations de liaison ou de contraintes égal à six moins le degré de liberté de la liaison envisagée. Alors, toutes les équations de la dynamique pour chaque solide se présentent sous la même forme. Ce côté systématique, bien adapté à la programmation, a été la raison de l’emploi de cette description au début de la théorie des multicorps. Mais, en contrepartie, la connaissance des équations de la dynamique sous forme littérale ne présente aucun intérêt. ADAMS et DADS font partie de cette catégorie. On ne peut donc pas attendre d’eux qu’ils fournissent des équations qui pourraient aider à la compréhension.

Les seconds définissent les solides par rapport à ceux qui les précèdent dans la chaîne cinématique, par un nombre de grandeurs (abscisses ou angles) égal au degré de liberté de la liaison qui les assemble. Il s’agit d’une démarche plus habituelle au mécanicien de la Mécanique générale. Comme on le verra, le nombre d’équations de liaison est alors plus réduit et ne concerne qu’une liaison par boucle indépendante. Dans ce cas, les équations de la dynamique sont plus intéressantes et peuvent aider à comprendre certains résultats. Ils peuvent être des générateurs d’équations sous forme littérale (ou symbolique). MECHANICA ET SYMPACK font partie de cette deuxième catégorie.

Nota :

Avant d’aborder les développements de ces fascicules, nous conseillons au lecteur de consulter les ouvrages de « Mécanique générale » de J.P. Brossard  parus dans cette base documentaire. Ils pourront lui être utile en bien des occasions. Ajoutons également que les outils dont nous présentons la théorie ne doivent pas être considérés comme la fin de tout raisonnement classique. Tous les modèles simplifiés qui mettent l’accent sur une partie d’un système complexe, et dont l’étude est menée le plus loin sous forme analytique, apportent souvent des renseignements irremplaçables.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af5050


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1. Forme particulière des équations de mouvement

Motivation

Pour mieux saisir les développements qui vont suivre et leur ordre, il est nécessaire d’avoir un aperçu sur la forme générale qui est donnée, le plus souvent, aux équations de mouvement d’un système en vue de leur résolution numérique dans les logiciels de simulation. A priori, la méthode qui semble la mieux adaptée au traitement algorithmique qui, bien entendu, nous intéresse ici, est la méthode de Lagrange. Un rappel va en être fait, qui nous permettra de voir clairement tous les éléments à développer.

1.1 Système algébro-différentiel des équations du mouvement

HAUT DE PAGE

1.1.1 Première forme

Rappelons la forme que prennent les équations de Lagrange pour un système décrit par n coordonnées généralisées q 1 , q 2 , ..., q i , ..., q n liées par L équations de liaison de type algébrique (provenant d’une boucle fermée dans la topologie du mécanisme) :

( 1 )

qui, par dérivations, conduisent aux équations :

( 2 )

dans lesquelles les seconds membres peuvent être non nuls si, en dehors des n paramètres retenus, certains dépendent explicitement du temps. On remarquera que ces dernières équations ont directement cette forme (sans dérivation) si elles traduisent des conditions de non-glissement.

Si T g est l’énergie cinétique galiléenne du système, les équations de Lagrange s’écrivent :

...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BERGE (C.) -   Graphes et hypergraphes.  -  Paris, Dunod, 502 p. (1970).

  • (2) - BROSSARD (J.P.) -   Mécanique Générale.  -  Techniques de l’IngénieurMécanique générale- Méthode de l’étude à Mécanique générale- Dynamique générale. Forme analytique – Base documentaire « Physique-chimie » (1995 à 1997).

  • (3) - DENAVIT (J.), HARTENBERG (R.S.) -   A kinematic notation for lower-pairs mechanisms based on matrices.  -  J. of Ap. Mechanics, p. 215-221 (1955).

  • (4) - FAYET (M.), BROSSARD (J.P.) -   On the designation of joints.  -  Mech. and Mach. Th., p. 527-548 (1999).

  • (5) - NIKRAVECH (P.E.) -   Computer-aided analysis of mechanical systems.  -  New Jersey, Prentice Hall, 369 p. (1988).

  • (6) - NIKRAVECH (P.E.), CHUNG (I.S.) -   Application...

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