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RÉSUMÉ
Les équations de liaison au sens de la Mécanique générale traduisent les contraintes sur les coordonnées généralisées qu’imposent les contacts entre solides. Avec les équations de la dynamique, elles appartiennent aux équations du mouvement. Un certain procédé systématique utilisé dans la plupart des logiciels de simulation permet d’écrire ces équations de liaison. Cet article propose le déroulé du procédé général et la mise en œuvre de ces équations. Par la suite, les forces dans les liaisons sont également détaillées (composantes des torseurs des forces du contact, cas du paramétrage absolu et du paramétrage relatif notamment).
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-
Michel FAYET : Professeur émérite des Universités - INSA (Lyon)
INTRODUCTION
Nous avons vu , à propos de la forme générale des équations du mouvement, qu’à côté des équations de la dynamique, il était nécessaire de connaître les équations de liaison. C’est ce que nous entreprenons ici, en gardant les deux options utilisées dans les logiciels : paramétrage absolu ou paramétrage relatif, et en examinant les équations de liaison à caractère géométrique (qui ne portent que sur les coordonnées généralisées elles-mêmes), celles dérivées à l’ordre 1, puis à l’ordre 2.
La manière d’écrire ces équations sous leurs formes dérivées à l’ordre 1 et 2 repose sur un procédé systématique utilisé dans pratiquement tous les logiciels de simulation . Ce procédé a l’avantage de donner un sens physique directement utilisable aux multiplicateurs de Lagrange associés à ces équations. Ces derniers représentent, en effet, les composantes du torseur des forces dans les liaisons. C’est pourquoi leur analyse est envisagée immédiatement après.
Avant d’aborder les développements proposés dans cet exposé, nous conseillons au lecteur de consulter le dossier : « Simulation des mécanismes – Topologie, géométrie, cinématique » où sont développés les principes de base concernant la forme particulière des équations de mouvement ainsi que la géométrie et la cinématique des systèmes multicorps.
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2. Forces dans les liaisons
Nous allons ici mettre en évidence ce que nous avons annoncé au début de ce dossier au sujet des multiplicateurs qui, en raison de la manière d’écrire les équations de liaison auxquelles ils sont associés, ne sont rien d’autre que les composantes des torseurs d’efforts entre solides ou inconnues dynamiques. Cette propriété est d’ailleurs la raison principale du choix que nous avons fait.
Nous verrons ainsi comment la détermination des efforts de contact est étroitement liée à la cinématique du mécanisme. Ce sera une manière d’introduire les questions d’hyperstatisme qui seront traitées systématiquement dans le dossier .
Pour déterminer ces efforts de contact, nous supposerons que le mouvement est connu. En fait, la connaissance du mouvement ne sera complètement acquise que dans le dossier . Mais, en raison du lien étroit de cette question avec les équations de liaison qui ont été présentées au paragraphe 1, il paraît plus judicieux de l’aborder maintenant.
2.1 Les multiplicateurs sont les composantes des torseurs des forces de contact
2.1.1 Rappel sur le théorème de D’Alembert
Rappelons l’énoncé du théorème de D’Alembert : dans tout mouvement virtuel, la puissance des quantités...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - NIKRAVECH (P.E.) - Computer-aided analysis of mechanical systems. - New Jersey, Prentice Hall, 369 p. (1988).
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(2) - SHABANA (A.A.) - Dynamics of multibody systems. - New York, Wiley, 470 p. (1989).
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(3) - SCHIELEN (W.) - Multibody systems handbook. - Berlin, Springer Verlag, 432 p. (1990).
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(4) - SIESTRUNK (R.) - Quelques aspects nouveaux de la théorie des mécanismes et applications. - Revue française de Mécanique, no 45, p. 5-12 (1973).
-
(5) - REULEAUX - Cinématique (traduction de l’allemand). - Paris (1877).
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