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RÉSUMÉ
Les équations de liaison au sens de la Mécanique générale traduisent les contraintes sur les coordonnées généralisées qu’imposent les contacts entre solides. Avec les équations de la dynamique, elles appartiennent aux équations du mouvement. Un certain procédé systématique utilisé dans la plupart des logiciels de simulation permet d’écrire ces équations de liaison. Cet article propose le déroulé du procédé général et la mise en œuvre de ces équations. Par la suite, les forces dans les liaisons sont également détaillées (composantes des torseurs des forces du contact, cas du paramétrage absolu et du paramétrage relatif notamment).
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-
Michel FAYET : Professeur émérite des Universités - INSA (Lyon)
INTRODUCTION
Nous avons vu , à propos de la forme générale des équations du mouvement, qu’à côté des équations de la dynamique, il était nécessaire de connaître les équations de liaison. C’est ce que nous entreprenons ici, en gardant les deux options utilisées dans les logiciels : paramétrage absolu ou paramétrage relatif, et en examinant les équations de liaison à caractère géométrique (qui ne portent que sur les coordonnées généralisées elles-mêmes), celles dérivées à l’ordre 1, puis à l’ordre 2.
La manière d’écrire ces équations sous leurs formes dérivées à l’ordre 1 et 2 repose sur un procédé systématique utilisé dans pratiquement tous les logiciels de simulation . Ce procédé a l’avantage de donner un sens physique directement utilisable aux multiplicateurs de Lagrange associés à ces équations. Ces derniers représentent, en effet, les composantes du torseur des forces dans les liaisons. C’est pourquoi leur analyse est envisagée immédiatement après.
Avant d’aborder les développements proposés dans cet exposé, nous conseillons au lecteur de consulter le dossier : « Simulation des mécanismes – Topologie, géométrie, cinématique » où sont développés les principes de base concernant la forme particulière des équations de mouvement ainsi que la géométrie et la cinématique des systèmes multicorps.
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1. Équations de liaison
1.1 Procédé général
1.1.1 Équations de liaison à caractère géométrique (ordre 0)
Les équations de liaison au sens de la Mécanique générale traduisent les contraintes sur les coordonnées généralisées qu’imposent les contacts entre solides.
Lorsque l’on utilise le paramétrage absolu, chaque liaison L ij entre les solides S i et S j de degré de liberté
donne lieu à
équations de liaison scalaires indépendantes. Chaque type de liaison fait donc appel à un traitement particulier, c’est-à-dire que le logiciel a recours à une bibliothèque dont nous donnerons une idée plus loin.
Dans le cas du paramétrage relatif, les équations de liaison ne concernent plus toutes les liaisons, mais une seule dans chaque boucle indépendante du système mécanique. Si ce dernier est une simple chaîne ouverte, comme c’est le cas pour les robots-série, les paramètres relatifs qui la décrivent ne sont pas liés, car il n’y a pas de boucles, alors que, si l’on utilise les paramètres absolus, ils le sont. C’est un des avantages des paramètres relatifs : ils diminuent fortement, comme nous l’avions annoncé dans le dossier , le nombre d’équations de liaison.
Si l’on a affaire à un mécanisme à boucles, dans chacune des boucles indépendantes on a vu qu’il fallait ouvrir, par la pensée, l’une des liaisons L ij...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - NIKRAVECH (P.E.) - Computer-aided analysis of mechanical systems. - New Jersey, Prentice Hall, 369 p. (1988).
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(2) - SHABANA (A.A.) - Dynamics of multibody systems. - New York, Wiley, 470 p. (1989).
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(3) - SCHIELEN (W.) - Multibody systems handbook. - Berlin, Springer Verlag, 432 p. (1990).
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(4) - SIESTRUNK (R.) - Quelques aspects nouveaux de la théorie des mécanismes et applications. - Revue française de Mécanique, no 45, p. 5-12 (1973).
-
(5) - REULEAUX - Cinématique (traduction de l’allemand). - Paris (1877).
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