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1 - ESPACE DE PROBABILITÉS

  • 1.1 - Langage des probabilités
  • 1.2 - Probabilité sur un espace fini. Calcul combinatoire
  • 1.3 - Conditionnement et indépendance

2 - VARIABLES ALÉATOIRES

  • 2.1 - Définition
  • 2.2 - Loi d’une variable aléatoire
  • 2.3 - Intégrale par rapport à une mesure de probabilité
  • 2.4 - Indépendance de variables aléatoires
  • 2.5 - Variables aléatoires à valeurs réelles
  • 2.6 - Cas des v.a.r. discrètes
  • 2.7 - Cas des v.a.r. à densité
  • 2.8 - Indépendance de v.a.r.

3 - VECTEURS ALÉATOIRES

  • 3.1 - Loi conjointe et lois marginales
  • 3.2 - Vecteurs gaussiens

4 - MODES DE CONVERGENCE. THÉORÈMES LIMITES FONDAMENTAUX

  • 4.1 - Différents modes de convergence
  • 4.2 - Loi des grands nombres
  • 4.3 - Théorème de la limite centrale

Article de référence | Réf : AF166 v1

Variables aléatoires
Probabilités - Concepts fondamentaux

Auteur(s) : Sylvie MÉLÉARD

Relu et validé le 19 nov. 2019

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Auteur(s)

  • Sylvie MÉLÉARD : Université Paris 10, MODALX - Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires Paris 6 et 7

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INTRODUCTION

On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...).

Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af166


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2. Variables aléatoires

Le but est ici d’associer une valeur quantifiable aux différents résultats possibles d’une expérience aléatoire. Dans le cas d’un lancé de deux dés, on pourra considérer la somme des résultats, dans le cas de la vitesse d’une particule on pourra étudier l’énergie . On s’intéresse par exemple à connaître la vraisemblance de l’ensemble des résultats de l’expérience pour lesquels une telle valeur est dans un intervalle donné de . Il est alors nécessaire que cet ensemble soit un événement pour pouvoir en calculer la probabilité. On doit donc imposer une hypothèse de mesurabilité, suivant la terminologie de la théorie de la mesure, pour définir la notion de variable aléatoire.

2.1 Définition

On rappelle ici la définition vu au paragraphe 1.1.3. On se donne un espace de probabilité (Ω, , P ) et un espace mesurable (E ). Une variable aléatoire à valeurs dans (E ) est une application mesurable de (Ω, ) dans (E

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BOULEAU (N.) -   Probabilités de l’ingénieur, variables aléatoires et simulation.  -  Hermann (1986).

  • (2) - BOUZITAT (C.), PAGÈS (G.) -   En passant par hasard... Les probabilités de tous les jours.  -  Vuibert (1999).

  • (3) - BREIMAN (L.) -   Probability.  -  Addison-Wesley (1968).

  • (4) - JACOD (J.), PROTTER (P.) -   Probability essentials.  -  Springer (2000).

  • (5) - MÉTIVIER (M.) -   Notions fondamentales de la théorie des probabilités.  -  Dunod (1972).

  • (6) - NEVEU (J.) -   Bases mathématiques du calcul des probabilités.  -  Masson (1984).

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