Présentation
Auteur(s)
-
Sylvie MÉLÉARD : Université Paris 10, MODALX - Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires Paris 6 et 7
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Lire l’articleINTRODUCTION
On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières…).
Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles.
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2. Variables aléatoires
Le but est ici d’associer une valeur quantifiable aux différents résultats possibles d’une expérience aléatoire. Dans le cas d’un lancé de deux dés, on pourra considérer la somme des résultats, dans le cas de la vitesse d’une particule on pourra étudier l’énergie
. On s’intéresse par exemple à connaître la vraisemblance de l’ensemble des résultats de l’expérience pour lesquels une telle valeur est dans un intervalle donné de
. Il est alors nécessaire que cet ensemble soit un événement pour pouvoir en calculer la probabilité. On doit donc imposer une hypothèse de mesurabilité, suivant la terminologie de la théorie de la mesure, pour définir la notion de variable aléatoire.
2.1 Définition
On rappelle ici la définition vu au paragraphe 1.1.3. On se donne un espace de probabilité (Ω,
, P ) et un espace mesurable (E,
). Une variable aléatoire à valeurs dans (E,
...
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