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1 - ESPACE DE PROBABILITÉS

  • 1.1 - Langage des probabilités
  • 1.2 - Probabilité sur un espace fini. Calcul combinatoire
  • 1.3 - Conditionnement et indépendance

2 - VARIABLES ALÉATOIRES

  • 2.1 - Définition
  • 2.2 - Loi d’une variable aléatoire
  • 2.3 - Intégrale par rapport à une mesure de probabilité
  • 2.4 - Indépendance de variables aléatoires
  • 2.5 - Variables aléatoires à valeurs réelles
  • 2.6 - Cas des v.a.r. discrètes
  • 2.7 - Cas des v.a.r. à densité
  • 2.8 - Indépendance de v.a.r.

3 - VECTEURS ALÉATOIRES

  • 3.1 - Loi conjointe et lois marginales
  • 3.2 - Vecteurs gaussiens

4 - MODES DE CONVERGENCE. THÉORÈMES LIMITES FONDAMENTAUX

  • 4.1 - Différents modes de convergence
  • 4.2 - Loi des grands nombres
  • 4.3 - Théorème de la limite centrale

Article de référence | Réf : AF166 v1

Espace de probabilités
Probabilités - Concepts fondamentaux

Auteur(s) : Sylvie MÉLÉARD

Relu et validé le 19 nov. 2019

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Auteur(s)

  • Sylvie MÉLÉARD : Université Paris 10, MODALX - Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires Paris 6 et 7

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INTRODUCTION

On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...).

Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles.

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De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af166


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1. Espace de probabilités

1.1 Langage des probabilités

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1.1.1 Expériences et événements aléatoires

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1.1.1.1 Notion de hasard. Phénomènes aléatoires

On appelle expérience aléatoire une expérience conduisant suivant le hasard à plusieurs résultats possibles. Un résultat possible de l’expérience est appelé issue ou éventualité, et noté classiquement par la lettre ω. L’espace de toutes les issues possibles, appelé encore univers, sera noté Ω.

Les jeux de hasard, tels pile ou face, jeux de cartes, loterie, fournissent des exemples d’expériences aléatoires pour lesquels Ω est fini, mais Ω est en général un espace beaucoup plus compliqué.

Exemple

 

1) On lance deux pièces à pile ou face :

2) On lance un dé :

3) On tire une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de diamètre et l’expérience consiste à décrire l’impact de la flèche dans un repère orthonormé de centre le centre de la cible :

4) On étudie la durée de vie d’une ampoule électrique :

...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BOULEAU (N.) -   Probabilités de l’ingénieur, variables aléatoires et simulation.  -  Hermann (1986).

  • (2) - BOUZITAT (C.), PAGÈS (G.) -   En passant par hasard... Les probabilités de tous les jours.  -  Vuibert (1999).

  • (3) - BREIMAN (L.) -   Probability.  -  Addison-Wesley (1968).

  • (4) - JACOD (J.), PROTTER (P.) -   Probability essentials.  -  Springer (2000).

  • (5) - MÉTIVIER (M.) -   Notions fondamentales de la théorie des probabilités.  -  Dunod (1972).

  • (6) - NEVEU (J.) -   Bases mathématiques du calcul des probabilités.  -  Masson (1984).

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