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RÉSUMÉ
La statistique bayésienne correspond à une approche cohérente et surtout pratique de la résolution des problèmes d'inférence statistique. Les fondements historiques de cette discipline, ainsi que ses justifications théoriques et philosophiques, ne seront pas présentés ici. L'objet de cet article est au contraire de démontrer que cette approche de l'inférence statistique est moderne, adaptée aux outils informatiques de simulation et apte à répondre aux problèmes de modélisation les plus avancés dans toutes les disciplines, plutôt que de l'ancrer sur ses querelles du passé. Dans une première partie, seront présentés les fondements de l'inférence bayésienne, en insistant sur les spécificités de la modélisation a priori et de la construction des tests. Puis, seront explicités les concepts précédemment introduits dans le cas pratique d'un modèle de régression linéaire.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean-Michel MARIN : Institut de mathématiques et de modélisation, université Montpellier 2 et CREST, INSEE, Paris
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Christian P. ROBERT : Ceremade, université Paris Dauphine et CREST, INSEE, Paris
INTRODUCTION
Dans ce court texte de présentation de la statistique bayésienne, nous nous attachons à démontrer qu'il s'agit d'une approche cohérente et surtout pratique pour résoudre les problèmes d'inférence statistique. Les fondements historiques de cette discipline, ainsi que ses justifications théoriques et philosophiques, ne seront pas présentés ici, le lecteur étant renvoyé pour cela aux ouvrages de référence cités en [Doc AF 605] que sont Bernardo et Smith (1994) ; Carlin et Louis (2001) ; Gelman et al. (2001) et Robert (2007) (ou Robert (2006) pour la version française). Notre objet est au contraire de démontrer que cette approche de l'inférence statistique est moderne, adaptée aux outils informatiques de simulation et apte à répondre aux problèmes de modélisation les plus avancés dans toutes les disciplines, plutôt que de l'ancrer sur ses querelles du passé. Dans une première partie, nous présentons les fondements de l'inférence bayésienne, en insistant sur les spécificités de la modélisation a priori et de la construction des tests. Puis, nous mettons en œuvre explicitement les concepts précédemment introduits dans le cas pratique d'un modèle de régression linéaire.
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1. Buts et contraintes de l'inférence statistique
1.1 Formalisme
Avant de mettre en place les éléments nécessaires à la construction d'une machine inférentielle bayésienne, nous considérons tout d'abord quels sont les points essentiels définissant la science statistique. Son but fondamental est, partant d'observations d'un phénomène aléatoire, de mener une inférence, soit donc une déduction logique sur le mécanisme probabiliste conduisant à ce phénomène. Cette méthodologie a pour objectif final de fournir une analyse (ou une description) d'un phénomène passé, ou bien une prévision d'un phénomène à venir (et de même nature).
Exemple d'inférence statistique : on peut citer celui de la classification supervisée où, à l'aide d'un échantillon constitué d'individus ou d'objets regroupés en classes, on construit un modèle prédictif pour tout individu ou objet du même type dont on ne connaît pas la classe, le nouvel individu ou objet étant associé à la classe la plus probable (diagnostic médical, reconnaissance de caractères…).
Il va de soi que les étapes nécessaires au recueil des données comme la construction de plans de sondage ou d'expérience font aussi partie du domaine de la statistique et que l'approche bayésienne peut également apporter un éclairage nouveau sur ces opérations.
Exemple : on peut ainsi citer le cadre des modèles de capture-recapture où une population animale est recensée au travers d'épisodes successifs de capture-marquage-recapture qui se ramènent tous à des observations binomiales (, chapitre 5), ou celui de la pharmacocinétique où les dosages à tester doivent être déterminés a priori au vu des connaissances préalables des expérimentateurs et des médecins.
L'approche statistique est par essence formelle (ou mathématiquement structurée) parce qu'elle repose sur une formalisation poussée de la réalité objective. En particulier, nous insistons ici...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERNARDO (J.), SMITH (A.) - Bayesian theory - John Wiley, New York (1994).
-
(2) - BROWN (P.), VANNUCCI (M.), FEARN (T.) - Multivariate bayesian variable selection and prediction - J. Royal Statist. Society Series B, p. 627-641 (1998).
-
(3) - CARLIN (B.), LOUIS (T.) - Bayes and empirical Bayes methods for data analysis - Chapman and Hall, New York, 2e éd. (2001).
-
(4) - CASELLA (G.), MORENO (E.) - Objective bayesian variable selection - J. American Statist. Assoc., 101 (473), p. 157-167 (2006).
-
(5) - CELEUX (G.), MARIN (J.-M.), ROBERT (C.) - Sélection bayésienne de variables en régression linéaire - Journal de la Société Française de Statistique, 147 (1), p. 59-79 (2006).
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(6) - CHIPMAN (H.) - Bayesian variable selection with related predictors - Canadian Journal...
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