Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Cet article s'intéresse à la dynamique des systèmes non linéaires, et en particulier aux comportements chaotiques. L’imprédictibilité de ces comportements chaotiques au-delà d'un certain horizon temporel est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales. Elle implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard GOUESBET : Docteur d’État - Professeur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
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Siegfried MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL : Maître de conférence à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
INTRODUCTION
Au-delà de la physique newtonienne, deux révolutions scientifiques ont marqué le siècle dernier, chacune de ces révolutions étant associée au fait qu’une certaine quantité, précédemment considérée comme infinie, s’est avérée finie.
La première révolution est la conséquence du caractère fini de la vitesse de la lumière, une constante indépendante de l’observateur, donnant naissance au monde einsteinien de la relativité. L’univers de la relativité, pour le moins de la relativité restreinte, est déterministe et prédictible.
La seconde révolution résulte du fait qu’il existe un quantum minimal d’action h/2π (l’inverse de cette action n’est donc pas infinie), menant à la mécanique quantique. L’évolution d’un état quantique est régie par une équation déterministe et prédictible (l’équation de Schrödinger) entre deux mesures, mais le processus de mesure lui-même (réduction du paquet d’ondes) est non déterministe et non prédictible, sauf dans un sens statistique.
Dans cet article, nous nous consacrons à la dynamique des systèmes non linéaires, en particulier aux comportements chaotiques qui témoignent de ce que certains auteurs nomment une troisième révolution. Dans ce cadre, il apparaît que des comportements irréguliers ne résultent pas nécessairement de l’interaction entre un grand nombre de degrés de liberté ( ). En particulier, s’agissant d’applications non linéaires à une dimension, un seul degré de liberté (une seule variable) peut être suffisant pour engendrer des comportements de « chaos déterministe » alliant déterminisme et imprédictibilité. L’imprédictibilité (au-delà d’un certain horizon temporel) des comportements chaotiques est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales, qui implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Dynamique des systèmes non linéaires. Systèmes dissipatifs9. Conclusion
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Nous avons présenté une sélection d’éléments essentiels de la théorie des systèmes dynamiques non linéaires (en particulier de la théorie du chaos), y compris des éléments développés récemment (reconstruction d’équations du mouvement, caractérisation topologique). Cette théorie fonctionne sur des systèmes à petit nombre de degrés de liberté.
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Par ailleurs, l’équation de la chaleur est souvent couplée à des équations de la mécanique des fluides. On obtient alors un système d’équations non linéaires aux dérivées partielles qui, de manière inhérente, engendre un nombre infini de degrés de liberté, en contradiction avec les exigences de la dynamique des systèmes. Dans de nombreux cas cependant, un nombre infini de modes est amorti en sorte que le comportement observé peut effectivement être décrit en utilisant un petit nombre de degrés de liberté.
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Ces idées sont illustrées avec des exemples provenant d’études sur la convection naturelle (instabilités de Rayleigh-Bénard, instabilités de Bénard-Marangoni, instabilités par chauffage local de surface libre) ou sur les réacteurs chimiques.
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Nous avons aussi abordé, quoique plus succinctement, les thèmes de contrôle des procédés, chaos lagrangien, et d’effets thermiques chez les êtres vivants.
La dynamique des systèmes non linéaires constitue ainsi une branche de la connaissance qui, désormais, n’est plus confinée aux laboratoires et ne peut plus être ignorée de l’ingénieur. En effet, une des raisons qui doit motiver la connaissance de la dynamique des systèmes (et de la théorie des instabilités) par l’ingénieur est que ce dernier est entraîné à calculer des solutions à un problème posé (ponts, barrages, réacteurs chimiques...) mais qu’il est beaucoup moins sensibilisé à s’assurer de la stabilité de ces solutions, soit sous variation de conditions initiales, soit sous variation des paramètres de contrôle. En particulier, les bifurcations dites catastrophiques (au sens technique utilisé dans cet article) peuvent s’avérer également catastrophiques au sens usuel du terme. De même, un comportement chaotique, s’il peut être désiré ou même souhaitable...
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Conclusion
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - SMALE (S.) - Differentiable dynamical systems - . Bulletin of the American Mathematical Society, 73, p. 747-817 (1967).
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(2) - LORENZ (E.N.) - Deterministic nonperiodic flow - . Journal of Atmospheric Science, 20, p. 130-141 (1963).
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(3) - RUELLE (D.), TAKENS (F.) - On the nature of turbulence - . Communications in Mathematical Physics, 20(3), p. 167-192 (1971).
-
(4) - H. POINCARÉ, philosophe et mathématicien - . Pour la Science, trimestriel, no 4 (août-novembre 2000).
-
(5) - POINCARÉ (H.) - Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique - . Mémoire couronné du prix de S.M. le roi Oscar II de Suède et de Norvège (nov. 1890).
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(6) - POINCARÉ (H.) - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste - ....
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