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RÉSUMÉ
Les méthodes de décomposition de domaines, usitées aujourd’hui dans tous les secteurs d’ingénierie, se heurtent pour la plupart, et de par leur décomposition en un grand nombre de sous-domaines, à des problèmes de processus de résolution insuffisamment parallélisés. De plus, en augmentant le nombre d’itérations, la vitesse de calcul diminue et la convergence se dégrade. Pour résoudre ces difficultés et obtenir des méthodes scalables, l’ajout de composantes comme la grille grossière ou le recours à des résolutions en espace et en temps, avec notamment l’algorithme pararéel, permettent d’aboutir à des solutions satisfaisantes dans des contextes mêmes très complexes.
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Most domain decomposition methods which are currently used in all engineering sectors encounter, due to their decomposition in a large number of sub-domains, problems of insufficiently parallelized resolution problems. Furthermore, raising the iteration number lowers the calculation speed and convergence diminishes. In order to solve these problems and to obtain scalable methods, adding components such as the coarse grid or recoursing to time and space resolutions, notably with the parareal algorithm, can be used to obtain satisfactory solutions even within extremely complex contexts.
Auteur(s)
-
Martin J. GANDER : Professeur de mathématiques - Section de Mathématiques, Université de Genève
-
Laurence HALPERN : Professeur de Mathématiques - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, Université Paris 13
INTRODUCTION
Il s'agit ici de la seconde partie de l'article Méthodes de décomposition de domaines. Notions de base.
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KEYWORDS
Domain Decomposition | Schwarz Methods | Waveform Relaxation | Parareal Algorithm
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Préconditionneur grille grossière2. Méthodes de parallélisation pour des problèmes en espace-temps
Revenons maintenant à un problème d’évolution en temps, de type chaleur, ondes, ou même Schrödinger. Pour calculer de façon approchée une solution en espace et en temps, on choisira de préférence un schéma implicite en temps dans le premier et le troisième cas, explicite dans le deuxième. Une discrétisation en temps uniforme sur le domaine produira alors dans le cas explicite une parallélisation naturelle, sans nécessité d’itérer entre les processeurs. Par contre pour un schéma implicite, on est amené à résoudre à chaque pas de temps une équation elliptique (voir début de section 1.4 de [AF 1 375]). Celle-ci pourra être résolue par une des méthodes de décomposition de domaine définies dans les sections précédentes. Dans la perspective du couplage de modèles, ou de raffinement local en temps, il peut cependant être intéressant de pouvoir itérer entre les sous-domaines sur un intervalle de temps composé de plusieurs pas de temps. Cela évite également d’avoir à communiquer entre les processeurs à chaque pas de temps, augmentant ainsi le ratio entre temps de calcul et temps de communication. Tout cela fait l’objet des algorithmes de Schwarz relaxation d’onde introduits dans et des méthodes optimisées développées par la suite, dans ...
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Méthodes de parallélisation pour des problèmes en espace-temps
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOLD (V.) - Équations différentielles ordinaires - Éditions MIR, Moscou (1974).
-
(2) - BJORHUS (M.) - Semi-discrete subdomain iteration for hyperbolic systems - Tech. Rep. 4, NTNU (1995).
-
(3) - BOURGAT (J.-F.), GLOWINSKI (R.), LE TALLEC (P.), VIDRASCU (M.) - Variational formulation and algorithm for trace operator in domain decomposition calculations - in Domain Decomposition Methods, T. Chan, R. Glowinski, J. Périaux, and O. Widlund, eds., Philadelphia, PA, SIAM, pp. 3-16 (1989).
-
(4) - CAI (X.-C.), SARKIS (M.) - A restricted additive Schwarz preconditioner for general sparse linear systems - SIAM Journal on Scientific Computing, 21, pp. 239-247 (1999).
-
(5) - CHAN (T.F.), MATHEW (T.P.) - Domain decomposition algorithms - in Acta Numerica 1994. Cambridge University Press, pp. 61-143 (1994).
-
(6) - CHARTIER (P.), PHILIPPE (B.) - A...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Premiers exposés de la conférence internationale sur les méthodes de décomposition de domaines
http://www.ddm.org/conferences.html
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