Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article sur la transformée de Fourier est composé de deux paragraphes traitant de deux aspects bien distincts. Le premier présente les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés. Quelques utilisations et extensions de la transformée directe sont alors proposées. Le second paragraphe traite du cas des signaux bidimensionnels et de leur représentation en fréquences. Ces signaux servent de base dans différents domaines tels que la compression et le filtrage d’images, le prétraitements pour la reconnaissance de formes, etc. Le cas de la transformée de Fourier 2D vient en complément : interprétation et propriétés sont communiquées.
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This article on Fourier transform is composed of two paragraphs dealing with two very distinct aspects. In the first one, the expressions of Fourier transform in the case of the numerical processing of sampled signals are presented. A few uses and extensions of the direct transform are then proposed. The second paragraph deals with the case of two-dimensional signals and their representation in frequency. These signals serve as a basis in different domains such as compression and image filtering, preprocessing for form recognition, etc. The case of the 2D Fourier transform completes this article: interpretation and properties are presented.
Auteur(s)
-
Joël LE ROUX : École polytechnique universitaire (EPU) Université de Nice Sophia-Antipolis
INTRODUCTION
Cette deuxième partie de la présentation de la transformée de Fourier comporte deux paragraphes distincts et sans rapport direct. Elle se base sur les développements donnés dans la première partie en La transformée de Fourier et ses applications (partie 1).
Nous verrons dans le premier paragraphe les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés (la transformée de Fourier discrète), en décrivant plus particulièrement l’algorithme de transformée de Fourier rapide et en notant quelques considérations pratiques qu’on ne doit pas négliger lors de la mise en œuvre et l’utilisation de la transformée de Fourier discrète. Nous y mentionnerons des applications importantes comme la compression MP3 des signaux musicaux ou la modulation OFDM utilisée, par exemple, en télédiffusion numérique. Nous y donnerons également les résultats principaux concernant l’analyse spectrale des signaux aléatoires, principalement les notions de fonction d’autocorrélation et de densité spectrale.
Dans un deuxième paragraphe, nous aborderons le cas des signaux bidimensionnels (le plus souvent des images) et leur représentation en fréquences qui serviront de base dans différents domaines d’application : compression d’images, filtrage d’images, prétraitements pour la reconnaissance de formes, en mentionnant plus particulièrement les propriétés importantes de la transformée de Radon très utilisée en imagerie médicale.
La mise en œuvre et des exemples d’application seront vus dans une troisième partie La transformée de Fourier et ses applications (partie 3).
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Transformée de Fourier des signaux bidimensionnels et des images1. Transformée de Fourier discrète
Les représentations de signaux et de filtres sous la forme de transformées de Fourier et de transformées en z sont des outils théoriques. Ils ne peuvent être utilisés que si les données étudiées ont une représentation formelle. C’est le cas d’un filtre linéaire non récursif ou d’un signal sinusoïdal. Dans les études en traitement du signal, on est amené à représenter et à traiter des signaux mesurés dont la transformée ne peut pas s’écrire comme une formule dépendant d’un petit nombre de paramètres. Même dans le cas où une écriture formelle existe, on a souvent besoin de calculer effectivement la transformée de Fourier d’un signal ou la réponse en fréquence d’un filtre. On utilisera pour cela les outils informatiques.
L’utilisation de techniques numériques pour effectuer un calcul de transformée de Fourier suppose que le nombre de données à traiter soit fini et que le nombre de fréquences pour lesquelles on calcule la transformée soit aussi fini. Pour conserver la même quantité d’informations, on calculera autant de données dans le domaine des fréquences qu’il y a d’échantillons du signal dans le domaine temporel. C’est l’objectif de la transformée de Fourier discrète.
1.1 Lien avec les séries de Fourier
Soit le signal échantillonné x (t ) nul en dehors de l’intervalle 0, ..., T – 1 et X ′ (exp jθ) sa transformée de Fourier. On rend ce signal périodique en le reproduisant après translation de T, 2T, 3T, etc.
Pour tout n, pour tout
:
La transformée de Fourier Y (exp jθ) de y (t ) est la transformée d’un signal périodique de période T : elle est composée d’harmoniques aux fréquences multiples de 2π /T ; c’est donc une fonction échantillonnée nulle sauf à ces fréquences. Comme c’est la transformée de Fourier d’un signal échantillonné,...
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