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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les polynômes sont, d’une part, un outil privilégié de l’algèbre, d’autre part, un moyen commode et puissant d’investigation en analyse. Dans les deux cas, les racines des polynômes en une indéterminée jouent un rôle fondamental, soit dans le cadre arithmético-algébrique des extensions de corps, soit dans les nombreux problèmes numériques liés à l’approximation par des polynômes : interpolation, résolution d’équations numériques, par exemple. Bien entendu, de nombreux autres domaines sont concernés : recherche des valeurs propres d’une matrice et, partant, étude des systèmes dynamiques discrets ou continus, linéaires ou non ; arithmétique traditionnelle, géométrie complexe, géométrie algébrique réelle en sont des spécimens.
L’objet de cet article est de donner quelques outils assez généraux liés à la localisation, la séparation ou l’estimation des racines de polynômes, essentiellement à coefficients réels ou complexes. Seules les méthodes spécifiques aux polynômes seront étudiées, celles qui s’appliquent dans des situations plus générales faisant l’objet d’un autre article.
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3. Estimation des racines
Dans ce paragraphe 3, nous supposons toujours que le corps de base est
ou
. D’autre part, nous nous contenterons d’étudier quelques méthodes spécifiques aux polynômes. Les méthodes de calcul numérique des racines de polynômes, telles que la méthode de Newton, s’inscrivent dans le cadre général de la résolution des équations, qui fait partie de l’article « Méthodes numériques de base ».
3.1 Expression intégrale des racines
Soit
un polynôme de
[X ]. On a :
Soit γ un lacet dont l’image ne contienne aucune des racines de P. On sait (, formule des résidus) que :
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