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Auteur(s)
-
Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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Un exemple fondamental2. L’approche temps-fréquence
Le but de cette partie est de donner un bref aperçu de l’aventure scientifique qui a conduit à l’introduction des bases d’ondelettes.
2.1 L’analyse temps-fréquence
Une idée simple pour rendre l’analyse en fréquence plus locale est de multiplier la fonction f par une fonction g (t ) régulière bien localisée, par exemple une gaussienne
ainsi que le propose D. Gabor dans les années 1950, et ses translatées g (t – τ ),
, avant d’appliquer la transformée de Fourier. La « transformée de Fourier à fenêtre glissante » ainsi obtenue est une fonction de deux variables :
( 4 )
qui représente l’intensité de la fréquence ω dans un voisinage de l’instant τ. Elle peut aussi s’écrire G f (ω, τ ) = à f, gω, τ ñ, où les briques d’analyse sont données par gω, τ (t ) = g (t – τ ) e– iω t. Remarquons que l’on a :
et que
est aussi une gaussienne. Par conséquent, ces briques sont à la fois bien localisées dans le temps (autour de l’instant t ) et dans le domaine fréquentiel (autour de la fréquence ω ). On peut ainsi les visualiser symboliquement comme des rectangles de formes fixes localisées à divers emplacements du plan temps-fréquence, repéré...
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L’approche temps-fréquence
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
-
(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
-
(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
-
(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU...
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