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Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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1. Représentations en fréquence
1.1 Représenter les fonctions
Il convient tout d’abord de préciser le sens du mot « outil ». Les mathématiques disposent aujourd’hui d’une multitude de techniques visant à effectuer l’analyse, la synthèse et la représentation de fonctions quelconques à l’aide de « briques de bases » élémentaires. Ces techniques d’analyse harmonique au sens large sont parfois associées à des algorithmes performants, ce qui leur confère un intérêt supplémentaire pour les applications numériques.
L’exemple le plus fondamental est certainement celui de la transformée de Fourier connue depuis le XIXe siècle : celle-ci consiste tout d’abord à effectuer l’analyse en fréquence d’une fonction f (t ),
par la formule :
Sous des hypothèses convenables sur f, la fonction
est ainsi bien définie et elle permet la synthèse de f par la formule d’inversion :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
-
(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
-
(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
-
(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU (J.-C.) - Biorthogonal...
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