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Auteur(s)
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Albert COHEN : Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Apparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications.
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Ondelettes et adaptativitéArticle inclus dans l'offre
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5. Les ondelettes généralisées
Le problème d’adapter les représentations multiéchelles et les ondelettes à des domaines bornés
se présente de façon relativement simple en traitement du signal et de l’image car le domaine est en général un intervalle ou un carré. Ce problème devient largement plus compliqué dans des situations rencontrées en simulation numérique où le domaine de définition des fonctions peut avoir une géométrie plus générale, qui ne se prête pas aux discrétisations sur les grilles cartésiennes sous-jacentes aux décompositions multiéchelles par produit tensoriel. On peut de plus souhaiter intégrer des conditions aux bords sur ces représentations, par exemple dans le cadre de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles.
Depuis le début des années 1990, de multiples approches ont été proposées pour apporter des solutions à ces problèmes. On dispose ainsi d’une grande variété d’outils permettant d’obtenir dans des situations spécifiques des représentations multiéchelles sur des bases d’ondelettes généralisées (ψ λ ) λ ∊ ∇ . Les indices λ ∊ ∇ représentent ici à la fois l’échelle et la localisation spatiale de l’ondelette : λ = (j, k ) dans les constructions décrites précédemment. La diversité de ces outils rend impossible une description détaillée. Nous renvoyons le lecteur à et , et nous limiterons ce paragraphe à une brève description...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - DAUBECHIES (I.) - Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, Philadelphie (1992).
-
(2) - MEYER (Y.) - Ondelettes. Algorithmes et Applications. - Armand Colin, Paris (1992).
-
(3) - GASQUET (Y.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications au traitement du signal. - Masson, Paris.
-
(4) - MARR (D.) - Vision. - Freeman, New York (1982).
-
(5) - MALLAT (S.) - A wavelet tour of signal processing. - Academic Press, New York (1998).
-
(6) - DAUBECHIES (I.) - Orthonormal bases of compactly supported wavelets. - Comm. Pure and Appl. Math. 41, 909-996 (1988).
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(7) - COHEN (A.), DAUBECHIES (I.), FEAUVEAU (J.-C.) - Biorthogonal...
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