Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Un grand nombre de domaines de la mécanique, conception, robotique, mécanique des milieux continus… tirent grand profit des logiciels de calcul formel tel Maple. Cet article détaille tout d’abord comment ces nouveaux outils, capables de venir à bout de calculs fastidieux, permettent de résoudre des problèmes d’intégration liés à la détermination des caractéristiques inertielles des solides. L’exemple du pendule d’Euler et celui du roulement sans glissement d’une roue sont utilisés pour illustrer les équations de Lagrange. Ensuite, sont traitées la génération puis la résolution des systèmes différentiels de la mécanique et de mouvement voisin de l’équilibre.
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A large number of domains in mechanics, design, robotics, continuous media mechanics... benefit considerably from formal calculation tools such as Maple. This article starts by detailing how these new tools, capable of conducting successfully tedious calculations, allow for solving integration issues linked to the determination of the inertial properties of solids . The example of the Euler pendulum and that of rolling without the slip of a wheel serve to illustrate the Lagrange equations. The generation and resolution of the differential systems of mechanics and of movement close to equilibrium.
Auteur(s)
-
Philippe LONJOU : Professeur agrégé de mécanique Institut national des sciences appliquées (INSA) de Lyon
INTRODUCTION
La première partie de ce dossier nous a permis d'entrevoir les possibilités offertes par un logiciel de calcul formel. La seconde partie va nous permettre, dans un premier temps, de résoudre des problèmes de calcul d'intégration liés à la détermination des caractéristiques inertielles des solides, mais surtout, dans un second temps, de générer et de résoudre des systèmes d'équations différentielles.
Ces équations différentielles nous permettront d'obtenir les lois des mouvements des mécanismes étudiés.
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Équilibre – Stabilité5. Étude de la résolution des systèmes différentiels de la dynamique
En prenant comme seul exemple le pendule d'Euler, nous exposerons les différentes manières de résoudre le système d'équations du mouvement.
Pour cette étude, les paramètres inertiels et dimensionnels sont fixés, ainsi que les conditions initiales du mouvement :
5.1 Linéarisation autour d'une position stationnaire
Dans ce premier cas, nous reprenons les équations de Lagrange déjà calculées dans un paragraphe précédent.
On suppose connue la position de l'état stationnaire. Ici, pour x* ≥ 0,5 ; θ* ≥ 0 :
>restart:with(LinearAlgebra):with(PDEtools):declare (prime):with(plots):
>eq_L_x:≥-m*sin(theta(t))*diff(theta(t),t)^2*L+(M+m)*diff(x(t),t,t)+ m*cos(theta(t))*diff(theta(t),t,t)*L≥-k*x(t);
>eq_L_theta:≥cos(theta(t))*m*L*diff(x(t),t,t)+diff (theta(t),t,t)*L^2*m≥-m*g*sin(theta(t))*L;
Pour pouvoir linéariser ces équations, il faut charger la bibliothèque « Student[MultivariateCalculus] » dont on peut voir l'ensemble des procédures proposées :
>with(Student[MultivariateCalculus]);
Ensuite, une nouvelle équation doit être écrite en réalisant un changement de variable. Pour cela, il faut employer la procédure « subs » afin de substituer les paramètres cinématiques...
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Étude de la résolution des systèmes différentiels de la dynamique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Méthode de l'étude. - [A 1 660], Rubrique « Mécanique » (1997).
-
(2) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Cinématique générale. - [A 1 661], Rubrique « Mécanique » (1994).
-
(3) - BROSSARD (J.-P) - Mécanique générale. Développement de la cinématique. - [A 1 163], Rubrique « Mécanique » (1996).
-
(4) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme victorielle. - [A 1 664], Rubrique « Mécanique » (1995).
-
(5) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique. - [A 1 666], Rubrique « Mécanique » (1995).
-
...
ANNEXES
Il existe beaucoup de sites consacrés à Maple. On peut trouver assez facilement des exemples et même des cours.
Malheureusement, une grande quantité de ces sites sont réalisés en utilisant des versions anciennes du logiciel.
Sur le site de Maplesolf http://www.maplesoft.com/applications/ on peut trouver des exemples d'utilisation du logiciel dans à peu près tous les domaines scientifiques.
Sur le site suivant : http://www.mapleprimes.com on pourra accéder à des groupes de discussion.
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