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RÉSUMÉ
En traitement numérique du signal, les signaux aléatoires constituent un modèle de base des signaux dans un grand nombre de problèmes rencontrés en pratique. Les signaux stationnaires au sens large sont d'abord présentés ainsi que les chaînes de Markov. Cette présentation est complétée par quelques problèmes pratiques de traitement : estimation spectrale, traitement d'antenne et éléments de filtrage adaptatif. Puis quelques principes généraux d'estimation statistique sont donnés.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard BLANCHET : Directeur d'études à Telecom-Paristech
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Maurice CHARBIT : Professeur à Telecom-Paristech
INTRODUCTION
Cet article est consacré aux signaux aléatoires. Il fait suite et fait souvent référence à l'article consacré aux signaux déterministes [E3087]. En première partie nous présentons les signaux stationnaires au sens large et leur filtrage, ainsi que les chaînes de Markov. La seconde partie est une introduction à l'estimation statistique. La dernière partie présente, pour illustrer ce qui précède, quelques problèmes pratiques de traitement : estimation spectrale, traitement d'antenne et éléments de filtrage adaptatif.
Dans ce qui suit de nombreuses propriétés sont énoncées sans donner toujours les hypothèses de leur validité. Indiquons toutefois que, dans la majorité des cas rencontrés en pratique, ces hypothèses sont satisfaites. Les plus curieux pourront se documenter en consultant l'abondante littérature existant dans le domaine.
Le lecteur se reportera à l'article [E3087] Traitement numérique du signal. Signaux déterministe, où il trouvera un tableau des abréviations et notations mathématiques, ainsi qu'un glossaire français-anglais en fin d'article.
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MOTS-CLÉS
signaux aléatoires processus SSL filtrage estimation spectrale processus ARMA processus de Markov traitement adaptatif
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1. Signaux aléatoires
Lorsque les signaux observés sont modélisés par une fonction dont la valeur peut être calculée à tout instant, on dit que de tels signaux sont déterministes. Dans beaucoup de situations pratiques, la variabilité des signaux est telle que l'on est conduit, au cours du temps, à introduire de plus en plus de paramètres pour que la fonction puisse prendre en compte cette variabilité.
Exemple : supposons que l'on observe la vitesse du vent à l'aide d'un anémomètre pendant une durée déterminée. On suppose en outre que l'atmosphère est peu perturbée et, donc, que la vitesse présente des variations de faible amplitude. En dépit de ces hypothèses, le résultat de ces mesures est difficilement modélisable par une fonction ou même une équation récurrente linéaire ou non, fût-elle avec beaucoup de coefficients. On peut aussi remarquer que l'observation de la brise pendant une heure, de t1 à t 2 = t 1 + 1h, ne permet pas de prédire avec certitude la valeur de la vitesse à l'instant t 2 . Tout ce que l'on peut dire est que cette vitesse se situera « avec une certaine probabilité » dans un intervalle donné de valeurs.
Cet exemple explique pourquoi on préfère utiliser un modèle issu de la théorie des probabilités. Cette dernière consiste à considérer non plus une seule fonction mais un ensemble de fonctions indexées par les épreuves d'un espace de probabilité. De tels signaux sont dits aléatoires. Nous rappelons dans le paragraphe suivant quelques éléments de la théorie des probabilités.
1.1 Quelques rappels de probabilité
En théorie des probabilités , ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BLANCHET (G.), CHARBIT (M.) - Digital Signal and Image Processing using Matlab. - ISTE (2006).
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(2) - BELLANGER (M.) - Analyse des Signaux et Filtrage Numérique Adaptatif - . Masson, Collection CNET-ENST (1989).
-
(3) - RÉMAUD (P.) - Introduction aux Probabilités et aux Chaînes de Markov - . Springer-Verlag (2009).
-
(4) - BOITE (R.), LEICH (H.) - les Filtres Numériques - . Masson, Collection CNET-ENST (1980).
-
(5) - BROCKWELL (P.J.), DAVIS (R.A.) - Time series : Theory and Methods - Springer-Verlag (1991).
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(6) - CHARBIT (M.) - Éléments de Théorie du Signal : Signaux Aléatoires - . Ellipses, Collection Pédagogique de Télécommunication (1996).
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ANNEXES
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