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1 - CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ARBRES DE DÉFAILLANCE

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3 - HYPOTHÈSES PRINCIPALES ET BASES MATHÉMATIQUES DES ADD

4 - ANALOGIE ÉLECTRIQUE ET NOTIONS DE CHEMINS DE FERMETURE ET DE COUPURE MINIMAUX

5 - CALCULS PROBABILISTES STATIQUES

6 - CONCLUSION

7 - GLOSSAIRE

8 - SIGLES, NOTATIONS ET SYMBOLES

Article de référence | Réf : SE4052 v1

Sigles, notations et symboles
Arbre de défaillance - Contexte booléen, analyse et bases mathématiques

Auteur(s) : Jean-Pierre SIGNORET

Relu et validé le 02 sept. 2020

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RÉSUMÉ

L'arbre de défaillance est un modèle graphique utilisé en sûreté de fonctionnement pour représenter l'état de panne d'un système en fonction des états de panne de ses composants. Sa nature déductive (effet-causes) lui confère une capacité d'analyse puissante. Il partage les mêmes bases booléennes et probabilistes avec le diagramme de fiabilité et possède des liens avec le diagramme cause-conséquence ou l'arbre d'événement. Cet article décrit sa mise en œuvre, les difficultés et les solutions pour l'utiliser qualitativement et quantitativement, il introduit l'utilisation des diagrammes de décision binaires et aborde l'extension aux aspects non cohérents.

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ABSTRACT

Fault tree. Boolean context, analysis and mathematical bases

The fault tree is a graphical model used in the dependability field for representing the faulty state of a system as a function of the faulty states of its components. Its deductive nature (top down) provides to it a powerful ability of analysis. It shares the same Boolean and probabilistic bases with the reliability diagram modeling and has links with the cause-consequence diagram or the event tree approaches. This article describes how to handle this model as well as the difficulties and solutions to use it qualitatively or quantitatively, it introduces the use of the binary decision diagrams and provides some information about non-coherence aspects.

Auteur(s)

  • Jean-Pierre SIGNORET : Spécialiste en sûreté de fonctionnement - Ancien président de la commission UF56 (sûreté de fonctionnement) de l’UTE puis de l’AFNOR - Chef de projet de la norme IEC 61025 Arbre de défaillance - Membre de TOTAL professeurs associés - 64160 Sedzère, France

INTRODUCTION

Contrairement aux diagrammes de fiabilité (BDF) dont la date de création est inconnue, celle des arbres de défaillance (ADD) est clairement identifiée , . La méthode ADD a été développée en 1962 par H.A. Watson dans le cadre du projet américain Minuteman de l’US Air Force. Elle se révéla immédiatement tellement efficace qu’elle fut rapidement adoptée dans l’aéronautique, puis dans l’industrie spatiale et nucléaire , pour être finalement utilisée de nos jours dans la plupart des secteurs industriels où elle fait partie de la panoplie des méthodes couramment mise en œuvre dans le domaine de la sûreté de fonctionnement (diagrammes de fiabilité [SE 4074], norme CEI 61078, arbres d’événements [SE 4050], norme CEI 62502, graphes de Markov, norme CEI 61165, [SE 4071], réseaux de Petri, [SE 4072], [SE 4073], , norme CEI 62551, etc.).

Alors que le diagramme de fiabilité décrit le bon fonctionnement d’un système, l’arbre de défaillance, lui, décrit sa défaillance, ou plus exactement, sa panne. Les deux approches sont duales et un ADD peut toujours être traduit en BDF et réciproquement. Elles partagent les mêmes mathématiques sous-jacentes et font partie des approches statiques et booléennes qui modélisent des structures logiques indépendantes du temps et s’intéressent à des composants/systèmes/fonctions à deux états (par exemple, marche et panne, bon fonctionnement/défaillant, réalisé/non réalisé). Outre les BDF, les ADD partagent des liens étroits avec d’autres méthodes utilisées en sûreté de fonctionnement : diagramme cause-conséquence , arbre d’événements [SE 4050], norme CEI 62502, LOPA [SE 4075], nœud papillon [SE 4055], arbre des causes , [SE 4050].

L’approche déductive (effet → causes, top down) des ADD leur confère une puissance d’analyse incomparable et unique parmi les techniques SdF dont la nature est majoritairement inductive (cause → effets, bottom up).

Du point de vue qualitatif, les ADD héritent du concept fondamental de coupe minimale défini à partir des BDF (ensemble de composants en panne nécessaires et suffisants pour entraîner la panne du système) et, du point de vue quantitatif, ils permettent, essentiellement, de calculer la probabilité de panne du système modélisé en fonction des probabilités de panne de ses composants lorsque celles-ci sont constantes. Cependant, lorsque les composants évoluent indépendamment les uns des autres au cours du temps, l’ADD permet de calculer facilement l’indisponibilité du système modélisé et aussi, mais avec des calculs plus compliqués, la fréquence de défaillance du système et une approximation de sa défiabilité (complément à 1 de la fiabilité). Cela est exposé en détail dans l’article [SE 4053] relatif aux aspects temporels des ADD.

Pendant longtemps, l’utilisation des ADD, comme celle des BDF, a été limitée par la taille des systèmes modélisés (explosion combinatoire du nombre de coupes minimales) et le nombre des éléments répétés plusieurs fois dans les modèles (durée de calcul augmentant exponentiellement avec ce nombre). Ces limitations ont été levées depuis la mise en œuvre des diagrammes de décision binaires (DDB) qui permettent de traiter très rapidement des ADD ou des BDF relatifs à des systèmes industriels de grande taille (c’est-à-dire de plusieurs centaines de composants) , . En outre, les DDB ont ouvert la voie aux calculs de probabilités conditionnelles et de facteurs d’importance, à la propagation des incertitudes sur les données par simulation de Monte Carlo [SE 4053] et au traitement des systèmes dits « non cohérents » difficiles à traiter avec les méthodes antérieures.

Cet article se propose de décrire la symbolique graphique des ADD, d’explorer les divers aspects évoqués ci-dessus en les illustrant avec des exemples pédagogiques.

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KEYWORDS

Minimal cut sets   |   Minimal tie sets   |   Failure probability

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-se4052


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - GONDRAN (M.), PAGES (A.) -   Fiabilité des systèmes.  -  Collection de la direction des études et recherches d’électricité de France, Eyrolle (1980).

  • (2) - ERICSON (C.) -   Fault Tree Analysis – A history  -  Proceedings of the 17th International System Safety Conference, Orlando (1999).

  • (3) - STAMATELATOS (M.), VESELY (W.), DUGAN (J.), FRAGOLA (J.), MINARICK (J.), RAILSBACH (J.) -   Fault Tree Handbook with Aerospace Applications.  -  NASA Headquarters, Washington, DC 20546, August 2002.

  • (4) - VESELY (W.E.), GOLDBERG (F.F.), ROBERTS (N.H.), HAAS (D.F.) -   Fault Tree Handbook,  -  NUREG_0492, Nuclear Regulatory Commission (1981).

  • (5) - SIGNORET (J.-P.), CACHEUX (P.-J.), COLLAS (S.), DUTUIT (Y.), FOLLEAU (C.), THOMAS (P.) -   Make your Petri nets understandable : Reliability block diagrams driven Petri nets.  -  Reliability Engineering and System Safety, Vol. 113, pp 61-75 (2013).

  • ...

1 Outils logiciels

Progiciel GRIF-Workshop (GRaphique Interactif pour la Fiabilité), logiciel développé par ELF puis pour TOTAL par SATODEV.

  • module Tree : arbres de défaillance ;

  • module ETree : arbres d’événements ;

  • module SIL : BDF adapté à la sécurité fonctionnelle ;

  • module Petri : réseaux de Petri stochastiques ;

  • module BFIAB : diagrammes de fiabilité ;

  • module BSTOK : diagrammes de fiabilité dynamiques ;

  • module Petro : disponibilité de production des systèmes pétroliers.

HAUT DE PAGE

2 Sites Internet

GRIF-Workshop

Versions de démonstration téléchargeables à l’adresse http://grif-workshop.fr.

HAUT DE PAGE

3 Normes et standards

CEI (IEC) Diagrammes de fiabilité CEI 61078 - , 2016

CEI (IEC) Vocabulaire électrotechnique international – Partie 192 : sûreté de fonctionnement : Dependability CEI 60050-192...

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