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RÉSUMÉ
Cet article débute par des notions indispensables sur les phénomènes vibratoires avant de présenter des formules d'une utilisation simple et pratique permettant d'évaluer les fréquences propres de structures simples. En effet, la notion de fréquence propre est fondamentale dans tout problème de vibrations d’un système mécanique. Une structure excitée par des forces périodiques (machines tournantes, houle, séisme, etc.) subit des vibrations forcées et il se produit une amplification des déplacements et des contraintes dans le cas où la fréquence d'excitation est proche d'une des fréquences propres de la structure. La structure rentre alors en vibration, ce phénomène de résonance se traduit par un mauvais fonctionnement, une fatigue, voire une rupture du matériel et, éventuellement, un inconfort pour l’utilisateur.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Pierre DEVALAN : Ancien directeur des programmes de R&D du Cetim (Centre technique des industries mécaniques)
INTRODUCTION
Le but de cet article est de fournir un ensemble de formules d'une utilisation simple et pratique permettant d'évaluer les fréquences propres de structures simples.
Nous avons volontairement éliminé les systèmes qui présentent peu d'intérêt pratique pour le mécanicien, à savoir les systèmes dont les fréquences propres varient en fonction des efforts de tension ou de compression qui leur sont appliqués, c'est-à-dire :
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les cordes ;
-
les membranes ;
-
les plaques ou les poutres qui travaillent au flambement ;
ou encore les systèmes vibrants en dehors du domaine des structures, tels les tuyaux d'orgue par exemple.
Avant de passer aux formules proprement dites, nous rappelons de manière sommaire quelques notions indispensables sur les phénomènes vibratoires et, en particulier, la notion de fréquence propre, élément primordial pour déterminer le comportement en vibration d'un système mécanique.
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2.1 Lois et hypothèses qui ont conduit à la détermination des formules
Au début de chaque paragraphe, on trouvera les hypothèses particulières à chacun des modèles proposés : systèmes discrets, poutres, plaques.
En plus de ces hypothèses, les formules ont été établies, pour la plupart, à partir de lois et hypothèses générales que nous résumons brièvement ci-après.
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Résistance des matériaux
En premier lieu, ces formules (mis à part celles concernant les systèmes discrets) ont été obtenues par la résistance des matériaux, science basée sur des hypothèses simples. L'application de cette science est toutefois limitée aux corps dont deux des dimensions (dimensions de la section droite) sont faibles par rapport à la troisième (la longueur) : ce sont les poutres et les treillis, et aux corps dont une des dimensions (l'épaisseur) est faible par rapport aux deux autres (longueurs) : ce sont les plaques. On ne peut pas l'utiliser pour le calcul des corps solides dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur.
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Lois de comportement du matériau
Matériau homogène et isotrope
En second lieu, le matériau est supposé homogène et isotrope : en chacun de ses points, et dans toutes les directions, il doit avoir les mêmes propriétés mécaniques : par exemple, le matériau doit être symétrique, c'est-à-dire posséder les mêmes caractéristiques en traction et en compression (mêmes modules d'Young, mêmes limites élastiques...).
Vibrations linéaires
Les déformations sont, de plus, élastiques (déformations réversibles) et réalisent une relation linéaire avec les sollicitations (loi de Hooke, F = kx).
Sont donc exclus, par exemple : les matériaux composites qui ne sont pas homogènes et isotropes, de même les matériaux à comportement non linéaire : matières plastiques, métaux au-delà d'une certaine déformation...
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Conditions cinématiques
Mouvements de petite amplitude
Ne sont considérés que des petits mouvements, c'est-à-dire les mouvements pour lesquels les particules d'un système s'écartent peu autour d'une position d'équilibre ou d'un mouvement stationnaire, de sorte que leurs vitesse et accélération...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HARRIS, CREDE - Shock and vibration Handbook. - McGraw-Hill, 3 vol., New-York (1996).
-
(2) - Halte Manuel de l'Ingénieur, tome 1. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1960).
-
(3) - DEN HARTOG (J.-P.) - Vibrations mécaniques. - Dunod, Paris (1960).
-
(4) - GORMAN (D.I.) - Free vibration analysis of beams and shafts. - John Wiley & Sons (1975).
-
(5) - TIMOSHENKO (S.) - Théorie des vibrations. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1954).
-
(6) - KELLOGG (M.W.) Company - Design of piping systems. - John Wiley & Sons (1956).
-
(7) - RUTENBERG (A.) - Vibration...
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