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RÉSUMÉ
Cet article débute par des notions indispensables sur les phénomènes vibratoires avant de présenter des formules d'une utilisation simple et pratique permettant d'évaluer les fréquences propres de structures simples. En effet, la notion de fréquence propre est fondamentale dans tout problème de vibrations d’un système mécanique. Une structure excitée par des forces périodiques (machines tournantes, houle, séisme, etc.) subit des vibrations forcées et il se produit une amplification des déplacements et des contraintes dans le cas où la fréquence d'excitation est proche d'une des fréquences propres de la structure. La structure rentre alors en vibration, ce phénomène de résonance se traduit par un mauvais fonctionnement, une fatigue, voire une rupture du matériel et, éventuellement, un inconfort pour l’utilisateur.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Pierre DEVALAN : Ancien directeur des programmes de R&D du Cetim (Centre technique des industries mécaniques)
INTRODUCTION
Le but de cet article est de fournir un ensemble de formules d'une utilisation simple et pratique permettant d'évaluer les fréquences propres de structures simples.
Nous avons volontairement éliminé les systèmes qui présentent peu d'intérêt pratique pour le mécanicien, à savoir les systèmes dont les fréquences propres varient en fonction des efforts de tension ou de compression qui leur sont appliqués, c'est-à-dire :
-
les cordes ;
-
les membranes ;
-
les plaques ou les poutres qui travaillent au flambement ;
ou encore les systèmes vibrants en dehors du domaine des structures, tels les tuyaux d'orgue par exemple.
Avant de passer aux formules proprement dites, nous rappelons de manière sommaire quelques notions indispensables sur les phénomènes vibratoires et, en particulier, la notion de fréquence propre, élément primordial pour déterminer le comportement en vibration d'un système mécanique.
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1. Rappels sur les structures et les phénomènes vibratoires
1.1 Masse et rigidité
La masse m (exprimée en kilogrammes dans le système international d'unités) et la rigidité k (exprimée en newtons/mètre dans le système international d'unités) sont deux concepts fondamentaux pour le mécanicien.
-
La masse est le concept le plus universellement connu ; en physique, elle se définit comme la quantité de matière d'un corps ou encore comme le rapport constant, qui existe entre la force F appliquée à un corps et les accélérations correspondantes ; c'est la loi de Newton :
![]()
On peut également définir la masse par la relation :
![]()
avec :
- P :
- poids,
- g :
- accélération due à la pesanteur.
-
La rigidité, pour le mécanicien, est la propriété que possède une structure de s'opposer à la déformation sous l'action de forces extérieures.
L'expérience de l'allongement d'un ressort soumis à un poids illustre bien cette notion :
-
Un ressort est disposé verticalement et une masse de 1 kg lui est appliquée (figure 1). On constate que ce ressort, sous l'action du poids P, a subi un allongement, disons de 2 mm.
-
En procédant de la même manière avec des masses de plus en plus élevées, on mesure les allongements successifs ; ceux-ci sont consignés dans un tableau (figure 2).
-
Les résultats peuvent également être tracés sur une courbe force (m × g )-allongement (figure 2). La force est ici le poids (force de gravitation terrestre) dû à la masse m suspendue, avec g = 9,81 m · s–2 accélération...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HARRIS, CREDE - Shock and vibration Handbook. - McGraw-Hill, 3 vol., New-York (1996).
-
(2) - Halte Manuel de l'Ingénieur, tome 1. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1960).
-
(3) - DEN HARTOG (J.-P.) - Vibrations mécaniques. - Dunod, Paris (1960).
-
(4) - GORMAN (D.I.) - Free vibration analysis of beams and shafts. - John Wiley & Sons (1975).
-
(5) - TIMOSHENKO (S.) - Théorie des vibrations. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1954).
-
(6) - KELLOGG (M.W.) Company - Design of piping systems. - John Wiley & Sons (1956).
-
(7) - RUTENBERG (A.) - Vibration...
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