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RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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7. Estimation fonctionnelle dans les processus à temps discret
Dans les applications, les variables observées sont souvent corrélées. Par exemple, X 1,…, Xn peuvent représenter le cours de l'euro par rapport au dollar les jours 1,…, n ou la température observée à Paris ces mêmes jours à midi. On dit alors que la suite (Xn , n ≥ 1) est un processus à temps discret.
Si les Xi ont la même loi de densité inconnue f, on peut construire les estimateurs de la densité à noyau ou par projection. Ces estimateurs resteront efficaces si le processus a des propriétés « d'indépendance asymptotique », autrement dit Xm et Xn sont « presque » indépendants quand
est « grand ».
Nous n'entrons pas dans les détails et renvoyons à . En ce qui concerne la régression, on suppose que :
où r ne dépend pas de i et également que (Xn ) est un processus de Markov (autrement dit : la loi de X i + 1 sachant X 1,…,Xi coïncide avec la loi de X i + 1 sachant Xi ), on peut alors estimer r à partir des observations X 1,…,Xn en considérant...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
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(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
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-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
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(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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