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RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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1. Les différents modèles
Un problème de statistique peut se caractériser par la donnée d’observations provenant d’une loi de probabilité inconnue et une décision à prendre au vu de ces observations. Cette décision peut être une estimation ponctuelle, un test, un intervalle de confiance, une prévision… .
L’ensemble des variables observées est résumé par une variable aléatoire X, à valeurs dans un espace E, et dont la loi μX appartient à la famille P des lois possibles. Le triplet M = (E, B, P), où B est la classe des parties probabilisables de E, s’appelle alors un modèle statistique.
Le statisticien choisit une règle de décision δ et, au vu de la valeur x prise par X , prend la décision δ(x). Le problème crucial est le choix d’une « bonne » règle de décision.
Maintenant, on dit qu’un modèle statistique est paramétrique si P a un paramétrage naturel :
où Θ est de dimension finie (i.e. Θ ⊂
avec d un entier naturel). L’exemple le plus classique est le modèle gaussien (exemple 1).
Exemple 1
On observe des variables aléatoires réelles (v.a.r.) indépendantes et de même loi gaussienne, N(m,σ 2) de densité :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
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(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
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(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
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(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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