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RÉSUMÉ
Cet article expose les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Les modèles paramétriques présentent en général un paramètre d’intérêt de dimension infinie ; le plus souvent ce paramètre est une fonction que l’on cherche à estimer. Sont étudiées plus particulièrement les méthodes de la densité par projection, de la fonction de répartition, ainsi que celles de la densité spectrale. Ces méthodes présentent le grand intérêt de résister aux changements de modèles. Elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles possèdent l’avantage d’être très efficaces pour la prévision. Quelques applications permettent l’illustration concrète de cette présentation.
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-
Denis BOSQ : Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Dans cet article, nous exposons les principales méthodes d’estimation fonctionnelle non paramétrique. Ces méthodes ont l'avantage d'être robustes : elles résistent bien aux changements de modèles ; elles permettent aussi de guider le statisticien dans le choix d'un modèle paramétrique ; enfin, elles sont très efficaces pour la prévision. En particulier, nous étudierons l’estimation de la fonction de répartition, de la densité, de la régression et de la densité spectrale. Quelques applications sont données au cours du texte.
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8. Estimation fonctionnelle en temps continu ou discrétisé
Dans de nombreuses applications, les observations se présentent sous la forme de courbes ; il peut s'agir de la consommation d'électricité, des variations des cours de la bourse au cours d'une séance, d'électrocardiogrammes…
On peut modéliser ce genre de phénomènes en considérant des familles
de variables aléatoires indexées par le temps.
Si les Xt ont la même loi μ, on peut alors définir la fonction de répartition empirique associée à l'observation de (Xt ,0 ≤ t≤T) en posant :
pourvu que l'intégrale existe.
Si μ a une densité f, on définit l'estimateur à noyau de f en écrivant :
où K vérifie les conditions habituelles, hT > 0 est la largeur de la fenêtre (sous réserve de l'existence de l'intégrale).
Quant à l'estimateur par projection, il est de la forme :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERLINET (A.), DEVROYE (L) - A comparison of kernel density estimates - Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 38 (3), p. 3-59 (1994).
-
(2) - BLANKE (D.), PUMO (B.) - Optimal sampling for density estimation in continuous time - J. Time Ser. Anal., 24 (1), p. 1-24 (2003).
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(3) - BOSQ (D.) - Test du χ2 généralisés. Comparation avec le test du χ2 classique - Revue Statist. Appliquée, 37 (1), p. 43-52 (1989).
-
(4) - BOSQ (D.) - Nonparametric statistic for stochastic processes. Estimation and prediction - Volume 110 of Lecture Notes in Statistics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York (1998).
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(5) - BOSQ (D.) - Functional tests of fit. In Goodness-of-fit tests and model validity - Stat. Ind. Technol., Birkhäuser (éd. Huber-Carol), Boston MA, p. 341–356 (2002).
-
(6) - BOSQ (D.), BLANKE (D.) - Inference...
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