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RÉSUMÉ
La statistique consiste de façon basique à recueillir et analyser des données. De façon plus approfondie, le recueil des données est basé sur l'échantillonnage, qui consiste à fabriquer un échantillon représentatif d'une population. Puis la modélisation utilise la statistique inférentielle pour spécifier, à partir de l’échantillon observé, le modèle probabiliste qui a engendré les données. Enfin l'estimation repose sur des méthodes statistiques, justifiées de façon mathématique pour éviter un certain nombre d’erreurs d’interprétation des résultats, fréquentes dans la pratique.
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Nathalie CHÈZE : Statisticienne - Maître de conférences à l’université Paris X-MODALX
INTRODUCTION
Recueillir et analyser les données sont les deux objectifs fondamentaux de la Statistique. Pour parvenir à cela, il faut suivre plusieurs étapes. Tout d’abord, il s’agit de définir l’objet étudié, les variables statistiques mises en cause, le questionnaire à établir, puis de fabriquer un échantillon représentatif selon un plan de sondage. Nous ne nous étendrons pas sur ce dernier thème dont les développements sont hors de propos dans cet article. Nous aborderons tout d’abord la notion d’échantillonnage pour éclaircir les notions de population et d’échantillon.
Une fois les données collectées et corrigées (travail laborieux mais indispensable), on peut les visualiser sous forme de tableaux ou graphes et les résumer grâce à des paramètres qui permettent de dégager les caractéristiques essentielles du phénomène étudié. Ces techniques sont développées dans l’article .
Ensuite vient l’étape de modélisation. La statistique inférentielle fournit des éléments permettant de spécifier du mieux possible, à partir de l’échantillon observé, le modèle probabiliste qui a engendré les données : détermination du modèle, estimation des paramètres inconnus et validation du modèle. Elle a pour but de faire des prévisions et de prendre des décisions au vu des observations.
La partie estimation est exposée dans le paragraphe 3 et présente des méthodes statistiques utilisées par les ingénieurs. Ces méthodes seront généralement justifiées de façon mathématique, pour éviter un certain nombre d’erreurs d’interprétation des résultats, fréquentes dans la pratique.
Les méthodes statistiques sont utilisées dans de nombreux domaines tels que l’ingénierie (contrôle de qualité de fabrication…), la médecine (expérimentation de nouveaux traitements…), l’économie (études quantitatives de marché…) et d’autres.
La lecture de cet article demande des prérequis en Probabilités. Toutes les notions et notations utilisées dans la suite se trouvent dans l’article de ce traité.
Dans le formulaire , l’utilisation des tables statistiques est expliquée à l’aide d’exemples numériques.
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3. Estimation
3.1 Introduction
Le problème de la statistique est le suivant : on observe une variable aléatoire, dont la loi est – complètement ou partiellement – inconnue. Il s’agit, à partir de l’échantillon des observations, d’obtenir le plus d’informations possible sur cette loi.
supposons que l’on fabrique des pièces sur une machine. Toutes les pièces fabriquées ont la même probabilité θ inconnue d’être défectueuses. Ce nombre θ dépend du réglage de la machine, le réglage est d’autant meilleur que θ est proche de 0 ; mais comme le réglage ne peut être parfait, on n’a jamais θ = 0. Avant de lancer le cycle de fabrication, on veut vérifier si la machine est « bien réglée », c’est-à-dire si θ est suffisamment petit. Pour cela, on fabrique un certain nombre n de pièces qui servent à tester le réglage. L’observation consiste à compter le nombre X de pièces défectueuses parmi ces n pièces. On peut alors se poser deux types de problèmes.
1) Trouver « la » valeur de θ : cela s’appelle estimer le paramètre θ. Dans notre exemple, il est naturel de prendre pour estimateur de θ la proportion
de pièces défectueuses.
2) S’assurer que la vraie valeur de θ ne dépasse pas un seuil critique θ 0 fixé à l’avance (sinon, il faut refaire le réglage de la machine) : cela s’appelle tester le fait que
.
Ces deux problèmes sont de natures mathématiques assez différentes. Ils ont cependant en commun le fait qu’on ne peut pas arriver à une conclusion certaine. Dans le cas 1), il est « vraisemblable » que la valeur exacte de θ soit proche de l’estimation ...
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