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Analyse des données ou statistique exploratoire multidimensionnelleArticle de référence | Réf : TE5255 v1
Auteur(s) : Stéphane CANU
Date de publication : 10 févr. 2007
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Le bon usage des noyaux est lié à une technique de représentation qui permet de passer d’une formulation initiale « fonctionnelle » (où l’espace des hypothèses est un ensemble de fonctions de type
) à une seconde formulation, vectorielle cette fois, faisant apparaître, pour chaque exemple, un coefficient représentant l’influence de ce point dans la solution. Pour illustrer ce principe, nous allons traiter l’exemple des splines d’interpolation.
Dans le cadre des splines d’interpolation, on cherche dans un EHNR
de noyau k la fonction de norme minimale interpolant un ensemble d’observations (xi, yi)i = 1, n. Le problème se formalise ainsi :
Pour résoudre ce problème, on recherche les points selles du lagrangien L associé qui dépend des multiplicateurs de Lagrange αi, i = 1, ..., n :
À l’optimum, la dérivée directionnelle du lagrangien par rapport à f s’annule, ce qui nous donne :
car de par la propriété de reproduction, on a
. À l’optimum, la solution s’écrit comme une combinaison linéaire des fonctions noyaux évaluées aux points...
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(1) - VAPNIK (V.) - Statistical Learning Theory - . Wiley, 1998.
(2) - HASTIE (T.), TIBSHIRANI (R.), FRIEDMAN (J.) - The elements of statistical learning - . Data Mining, inference and predictions, Springer, 2001.
(3) - HERBRICH (R.) - Learning Kernel Classifiers - . The MIT Press, 2002.
(4) - SCHOELKOPF (B.), SMOLA (A.J.) - Learning with Kernels - . The MIT Press, 2002.
(5) - SHAWE-TAYLOR (J.), CRISTIANIN (N.) - Kernel Methods for Pattern Analysis - . Cambridge Univ. Press, 2004.
(6) - * - Trois sites de référence : http://www.kernel-machines.org, http://jmlr.csail.mit.edu, http://www.nips.cc.
(7)...
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