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RÉSUMÉ
Le comportement rigide-plastique est une schématisation du comportement réel des alliages métalliques. Cette schématisation sert de base à la construction de tous les modèles de comportement plastique plus réalistes L’objectif de cette théorie est de décrire le comportement du matériau rigide plastique dans un état de contrainte et de déformation plus général que celui observé dans les essais de mono-chargement, comme la traction, la torsion ou la flexion. Pour cela, il est nécessaire de faire diverses hypothèses et de négliger dans un premier temps des phénomènes plus fins que présentent les matériaux réels.
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Eric FELDER : Ingénieur civil des Mines de Paris, Docteur ès Sciences - Maître de recherches au Centre de mise en forme des matériaux (CEMEF) - École des Mines de Paris, CNRS de Sophia-Antipolis
INTRODUCTION
Comme vu au § 4.1 du dossier [42], le comportement rigide-plastique est une schématisation du comportement réel des alliages métalliques. Celle-ci sert de base à la construction de tous les modèles de comportement plastique plus réalistes. Il est donc particulièrement instructif de le présenter en premier lieu.
L’objectif de cette théorie est de décrire le comportement du matériau RPP dans un état de contrainte et de déformation plus général que celui observé dans les essais de mono-chargement (traction, torsion, flexion) ainsi que de préciser les relations entre les grandeurs mesurées dans ces divers essais. Pour cela, il est nécessaire de faire diverses hypothèses et de négliger dans un premier temps des phénomènes plus fins que présentent les matériaux réels.
Les notions fondamentales de la plasticité disposent d’un cadre très simple, mais fondamental ; à savoir le corps rigide-plastique ou RPP.
Dans ce dossier, nous aborderons :
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le critère de plasticité ;
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la loi d’écoulement plastique ;
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la description du frottement ;
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un énoncé des théorèmes permettant l’analyse des opérations de mise en forme ;
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à la fin, une illustration significative à travers l’exemple du laminage avec traction de tôles fines.
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4. Théorèmes extrémaux
Le fait que le matériau obéisse au principe du travail maximal a des conséquences mathématiques remarquables sous la forme de deux théorèmes établis vers 1952 et qui permettent la résolution de manière plus ou moins approchée des équations de l’écoulement plastique.
Il faut insister sur le fait que ces théorèmes, dans leur version originale, ne sont valables que sous des conditions bien précises : la géométrie globale de l’écoulement est fixée.
Nous supposons, en outre, le corps RPP avec une contrainte d’écoulement uniforme, mais la démonstration reste valable si cette contrainte d’écoulement varie d’un point à un autre de manière fixée.
Il faut aussi noter que leur extension avec la prise en compte des conditions aux limites imposées par les outils et les conséquences du frottement ne sont généralement pas justifiées clairement.
Enfin, des travaux plus récents, accomplis notamment dans les années 1990, ont permis d’étendre l’application du théorème de la borne supérieure à des conditions moins restrictives de géométrie et de rhéologie, dites « non-standard ». Ces extensions, que nous évoquerons au § 5.2, nécessitent, toutefois, des calculs complexes qui ne peuvent généralement être effectués que sur ordinateur. Elles sont donc devenues moins intéressantes avec le développement de programmes de calculs par éléments finis standard et industriels [5], [6] et [13].
4.1 Hypothèses générales sur les conditions aux limites
Nous considérons un écoulement plastique d’un corps de volume Ω limité par une surface S sur laquelle on suppose que s’exercent, soit des vitesses, soit des contraintes. On définit alors sur S le vecteur vd de la façon suivante (pour i = 1 - 3) :
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