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RÉSUMÉ
Cet article propose trois types d’applications de distributions dans l’espace, celles que manipule essentiellement l’ingénieur. La formule de Stockes permet de démontrer la formule des sauts, autorisant à dériver une fonction qui présente une discontinuité le long d’une surface. Les espaces de Sobolev rendent possible l’écriture des équations aux dérivées partielles sous une formulation variationnelle. La dernière application présente l’utilisation des distributions en théorie du signal.
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Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques - École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) - Institut national polytechnique de Toulouse
INTRODUCTION
Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet et qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.
On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :
permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.
Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.
Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés ( ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujet !
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2. Formule des sauts dans l’espace
Rappelons que pour une fonction
par morceaux, on a démontré (cf. [AF 144 § 5.1]) la formule de dérivation au sens des distributions appelée formule des sauts :
si on note s i pour i = 1, …, n les sauts de f aux points a 1, a 2, …, a n , on a :
qui se démontrait simplement grâce à la formule d’intégrations par parties. On cherche à avoir l’analogue dans
et, pour cela, il faut utiliser la formule de Stokes .
2.1 Formule de Stokes et formule de Green
Ces deux formules fondamentales dans les applications sont souvent très mal comprises. Elles font intervenir deux notions essentielles – celles de normale extérieure et de mesure de surface – que nous allons définir aussi soigneusement et simplement que possible. Le lecteur est renvoyé à pour un traitement très complet de ces notions de calcul différentiel. Nous procédons...
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