Présentation

Article

1 - LES TROIS TYPES D’APPLICATIONS PROPOSÉS

2 - FORMULE DES SAUTS DANS L’ESPACE

3 - ESPACES DE SOBOLEV

  • 3.1 - Espace de Sobolev H1(Ω)
  • 3.2 - Espaces de Sobolev Hm(Ω) avec m entier

4 - FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES AUX LIMITES ELLIPTIQUES

  • 4.1 - Problème de Dirichlet
  • 4.2 - Problème de Neumann
  • 4.3 - Théorème de Lax-Milgram

5 - APPLICATION AUX PROCESSUS STATIONNAIRES DU SECOND ORDRE

  • 5.1 - Rappel sur les processus stationnaires du second ordre
  • 5.2 - Secteur
  • 5.3 - Processus des télégraphistes ou flip flop
  • 5.4 - Processus NRZ (Non Retour à Zéro)
  • 5.5 - Processus PAM (Pulse Amplitude Modulation)
  • 5.6 - Biphase
  • 5.7 - Processus PAM généralisé

Article de référence | Réf : AF146 v1

Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques
Distributions - Applications

Auteur(s) : Michel DOISY

Date de publication : 10 oct. 2006

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

RÉSUMÉ

Cet article propose trois types d’applications de distributions dans l’espace, celles que manipule essentiellement l’ingénieur. La formule de Stockes permet de démontrer la formule des sauts, autorisant à dériver une fonction qui présente une discontinuité le long d’une surface. Les espaces de Sobolev rendent possible l’écriture des équations aux dérivées partielles sous une formulation variationnelle. La dernière application présente l’utilisation des distributions en théorie du signal.

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

ABSTRACT

 

Auteur(s)

  • Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques - École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) - Institut national polytechnique de Toulouse

INTRODUCTION

Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet Distributions- Opérations et dérivées et Distributions- Convolution et transformée de Fourier qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.

On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier Distributions- Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :

permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.

Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.

Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés (Distributions- Opérations et dérivées Distributions- Convolution et transformée de Fourier ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujet !

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af146


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

4. Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques

Dans ce paragraphe, nous montrons comment les espaces de Sobolev introduits interviennent dans la résolution des équations aux dérivées partielles aux limites elliptiques. Nous nous contenterons d’illustrer ce propos par les deux problèmes classiques que sont le problème de Dirichlet et le problème de Neumann pour un ouvert borné régulier Ω de .

4.1 Problème de Dirichlet

Le problème de Dirichlet dans un disque D ouvert de est le suivant : trouver une fonction u de classe  dans D, continue dans et telle que :

Dans , il peut être résolu par la théorie des fonctions holomorphes. Par contre, sa résolution pour un ouvert de est plus délicate et oblige à reformuler le problème sous forme variationnelle.

Soit donc, pour Ω un ouvert borné régulier de et f une fonction de , à chercher une fonction u définie dans Ω vérifiant :

− Δu = f...

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques
Sommaire
Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BONY (J.M.) -   Cours d’analyse. Théorie des distributions et analyse de Fourier  -  . Édition de l’École polytechnique – Paris (2001).

  • (2) - BREZIS (H.) -   Analyse fonctionnelle. Théorie et applications  -  . Dunod – Paris (1983).

  • (3) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) -   Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul numérique – Ondelettes  -  . 354 p., Masson – Paris (1990).

  • (4) - LACAZE (B.) -   Processus aléatoires pour les communications numériques  -  . Collection Traitement du Signal – Hermès Science (2000).

  • (5) - LIONS (J.L.) -   Quelques méthodes de la résolution de problèmes aux limites non linéaires  -  . Dunod – Paris (1969).

  • (6) - SPITÉRI (P.) -   Méthode des éléments finis  -  ....

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS