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RÉSUMÉ
Cet article propose trois types d’applications de distributions dans l’espace, celles que manipule essentiellement l’ingénieur. La formule de Stockes permet de démontrer la formule des sauts, autorisant à dériver une fonction qui présente une discontinuité le long d’une surface. Les espaces de Sobolev rendent possible l’écriture des équations aux dérivées partielles sous une formulation variationnelle. La dernière application présente l’utilisation des distributions en théorie du signal.
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-
Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques - École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) - Institut national polytechnique de Toulouse
INTRODUCTION
Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet et qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.
On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :
permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.
Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.
Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés ( ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujet !
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5. Application aux processus stationnaires du second ordre
Nous traitons dans cette partie, une application des distributions à l’étude de certains signaux aléatoires. Cette méthode – sans doute insuffisamment utilisée dans la pratique – peut être très utile dans l’analyse spectrale des signaux aléatoires. Dans un premier temps, nous rappelons brièvement les principales propriétés de la fonction d’autocorrélation d’un processus stationnaire du second ordre . Puis nous montrerons, sur quelques exemples de processus intervenant en théorie du signal, comment les propriétés des distributions peuvent être utilisées.
5.1 Rappel sur les processus stationnaires du second ordre
Un processus aléatoire du second ordre défini sur
est une famille
de variables aléatoires (v.a. en abrégé) à valeurs complexes, définie sur un même espace de probabilités
et de carré intégrable soit
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BONY (J.M.) - Cours d’analyse. Théorie des distributions et analyse de Fourier - . Édition de l’École polytechnique – Paris (2001).
-
(2) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications - . Dunod – Paris (1983).
-
(3) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul numérique – Ondelettes - . 354 p., Masson – Paris (1990).
-
(4) - LACAZE (B.) - Processus aléatoires pour les communications numériques - . Collection Traitement du Signal – Hermès Science (2000).
-
(5) - LIONS (J.L.) - Quelques méthodes de la résolution de problèmes aux limites non linéaires - . Dunod – Paris (1969).
-
(6) - SPITÉRI (P.) - Méthode des éléments finis - ....
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