Espaces de Sobolev
Distributions - Applications

AF146 v1 Article de référence

Espaces de Sobolev
Distributions - Applications

Auteur(s) : Michel DOISY

Date de publication : 10 oct. 2006 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Les trois types d’applications proposés

2 - Formule des sauts dans l’espace

2.1 - Formule de Stokes et formule de Green
2.2 - Formules des sauts dans l’espace

3 - Espaces de Sobolev

3.1 - Espace de Sobolev H 1(Ω)
3.2 - Espaces de Sobolev H m (Ω) avec m entier

4 - Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques

4.1 - Problème de Dirichlet
4.2 - Problème de Neumann
4.3 - Théorème de Lax-Milgram

5 - Application aux processus stationnaires du second ordre

5.1 - Rappel sur les processus stationnaires du second ordre
5.2 - Secteur
5.3 - Processus des télégraphistes ou flip flop
5.4 - Processus NRZ (Non Retour à Zéro)
5.5 - Processus PAM (Pulse Amplitude Modulation)
5.6 - Biphase
5.7 - Processus PAM généralisé

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

Cet article propose trois types d’applications de distributions dans l’espace, celles que manipule essentiellement l’ingénieur. La formule de Stockes permet de démontrer la formule des sauts, autorisant à dériver une fonction qui présente une discontinuité le long d’une surface. Les espaces de Sobolev rendent possible l’écriture des équations aux dérivées partielles sous une formulation variationnelle. La dernière application présente l’utilisation des distributions en théorie du signal.

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Auteur(s)

Michel DOISY : Maître de conférences en mathématiques - École nationale supérieure d’électrotechnique, d’électronique, d’informatique, d’hydraulique et des télécommunications (ENSEEIHT) - Institut national polytechnique de Toulouse

INTRODUCTION

Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet et qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.

On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :

T^{(n)} = δ^{(n)} * T

permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.

Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.

Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés ( ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujet !

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af146

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Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques

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3. Espaces de Sobolev

3.1 Espace de Sobolev H1(Ω)

Ces espaces jouent un rôle fondamental dans la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) comme nous le verrons en détail dans le paragraphe suivant. Leur définition s’appuie sur la notion de dérivée au sens des distributions et l’espace $L^{2} (Ω)$ (Ω ouvert de $ℝ^{n}$ ) des fonctions de carré intégrable y joue un rôle central. Rappelons que :

L^{2} (Ω) = {u : Ω \to \bar{ℝ} tel que \int_{Ω} {| u |}^{2} d x < \infty}

ensemble que l’on munit du produit scalaire noté ici :

{(u, v)}_{0, Ω} = \int_{Ω} u v d x

et de la norme :

{‖ u ‖}_{0, Ω} = (\int_{Ω} u^{2} ...

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