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1 - MODÉLISATION ET REPRÉSENTATION DÉTERMINISTE DES SIGNAUX

2 - MODÈLES DE SIGNAUX ALÉATOIRES

  • 2.1 - Signaux numériques stationnaires
  • 2.2 - Signaux analogiques aléatoires et échantillonnage
  • 2.3 - Bases de Karhunen-Loève
  • 2.4 - Modèles : AR, ARMA...

3 - 1E ÉTAPE DU TRAITEMENT DES SIGNAUX : ANALYSE DE SIGNAUX ET ESTIMATION

4 - EXEMPLE D'APPLICATION : CODAGE ET COMPRESSION DES SIGNAUX

  • 4.1 - PCM
  • 4.2 - Codage par transformation

5 - EXEMPLE D'APPLICATION : DÉBRUITAGE, PROBLÈME INVERSE

  • 5.1 - Filtrage de Wiener
  • 5.2 - Seuillages
  • 5.3 - Problème inverse

6 - NOUVEAU POINT DE VUE : LA « VOIE PARCIMONIEUSE »

  • 6.1 - Notion de parcimonie
  • 6.2 - Méthodes de décomposition et d'approximation parcimonieuse

7 - ANNEXES

Article de référence | Réf : AF490 v1

Nouveau point de vue : la « voie parcimonieuse »
Méthodes mathématiques pour le traitement des signaux et des images

Auteur(s) : Bruno TORRÉSANI

Date de publication : 10 oct. 2011

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RÉSUMÉ

Le traitement du signal est une discipline très vaste qui consiste à développer des méthodes d'analyse , d'interprétation et de transformation de signaux. Tout support d'informations comme une suite de nombres, une image, une séquence ADN… peut être défini comme un signal. Il est soit analogique, c'est-à-dire le résultat d'un processus de mesure (physique ou autre), soit numérique, lorsqu'il est stocké sur un support numérique quelconque. Dans les deux cas, son traitement recouvre un grand nombre de problématiques, de l'analyse exploratoire au débruitage, en passant par la restauration, le codage et la compression, sans oublier l'échantillonnage. Les signaux peuvent être décrits comme des objets déterministes ou aléatoires, l'approche à l'aide de modèles probabilistes apporte alors de précieux renseignements.

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ABSTRACT

Signal treatment is a vast discipline which consists in developing signal analysis, interpretation and transformation methods. Any information support e.g. a series of numbers, an image or a DNA sequence can be defined as a signal. It is either analogue i.e. the result of a measuring process (physical or other) or digital when it is stored in a given digital medium. In both cases its treatment encompasses a large number of issues from exploratory analysis to denoising and including restoring, coding and compression as well as sampling. Signals can be described as deterministic or aleatory objects and the approach based upon probabilistic models then provides valuable information.

Auteur(s)

  • Bruno TORRÉSANI : Professeur de mathématiques à Aix-Marseille Université, - Laboratoire d'Analyse, Topologie et Probabilités, - Centre de Mathématique et d'Informatique

INTRODUCTION

Le traitement du signal est la discipline qui consiste à développer et étudier des méthodes d'analyse, d'interprétation et de transformation des signaux, un signal pouvant être défini comme un support d'information à peu près quelconque (comme par exemple une suite de nombres, un courant électrique, une séquence ADN, ou encore une image ou une séquence vidéo...). Le traitement du signal fait appel à de nombreuses branches des mathématiques appliquées (notamment l'analyse, la théorie de l'approximation, les probabilités et statistiques, la théorie de l'information...) et maintenant même des mathématiques pures (géométrie, théorie des nombres...). Les signaux se présentent essentiellement sous deux formes : les signaux analogiques qui sont le résultat d'un processus de mesure physique (ou autre), ou obtenus par « conversion numérique   analogique », et les signaux numériques stockés sur ordinateur ou un support numérique quelconque, ou produits par une « conversion analogique   numérique ». Cette dernière opération, qui est l'une des plus fondamentales des opérations du traitement du signal, porte également le nom d'échantillonnage.

Le traitement du signal recouvre un grand nombre de problématiques, qui vont de l'analyse exploratoire des signaux à des tâches plus complexes comme le débruitage et la restauration de signaux dégradés, le codage et la compression des signaux, images et vidéo, l'estimation de modèles et de paramètres, la détection d'évènements spécifiques dans les signaux et les images... De plus, le cadre applicatif dans lequel ces problèmes sont posés impose souvent de sévères contraintes (causalité, charge de calcul, format des signaux...) qui nécessitent une adaptation du traitement.

Ce dossier décrit un échantillon assez large de méthodes et algorithmes de traitement des signaux et des images, en insistant sur les fondements mathématiques et les algorithmes. La première partie se focalise sur le premier point essentiel, à savoir le problème de la représentation des signaux. Dans ce contexte, l'analyse de Fourier et plus généralement l'analyse mathématique jouent un rôle central. On y discute également l'un des outils essentiels du traitement du signal, à savoir le filtrage de convolution, ainsi que la problématique de l'échantillonnage. Les signaux pouvant être décrits comme des objets soit déterministes, soit aléatoires, un certain nombre de modèles probabilistes sont également discutés en détails, et les notions abordées dans le cadre déterministe sont revisitées dans le cadre des signaux aléatoires.

La deuxième partie de ce dossier est consacrée à quelques problèmes spécifiques d'analyse et traitement des signaux, qui sont traités en exploitant les outils mathématiques décrits dans la première partie. Plus spécifiquement, les problèmes d'analyse et estimation, de codage et compression, et de débruitage sont abordés. La dernière section est quant à elle consacrée à une courte discussion de développements très récents, basés sur un nouveau paradigme, la notion de parcimonie. Certains aspects plus mathématiques ou techniques sont développés dans des annexes.

Le traitement du signal étant une discipline extrêmement vaste, il était impossible d'en couvrir tous les aspects dans un article de ce format. Le lecteur intéressé à approfondir certains aspects peu (ou pas du tout) traités ici est invité à se référer à quelques ouvrages de référence tels que par exemple    ou des documents disponibles en ligne (voir la rubrique Sites Internet du Pour en savoir plus).

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af490


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6. Nouveau point de vue : la « voie parcimonieuse »

Depuis l'avènement des méthodes de décomposition Hilbertienne des signaux, et plus particulièrement des méthodes de décomposition par ondelettes, une nouvelle approche a peu à peu émergé, basée sur la constatation empirique suivante : une bonne représentation pour un signal ou une classe de signaux a tendance à concentrer l'information sur un petit nombre de coefficients. C'est ce que l'on appelle la propriété de parcimonie, sur laquelle nous allons nous focaliser ci-dessous.

6.1 Notion de parcimonie

Étant donné un signal x, et une représentation de celui-ci par une suite de coefficients αk (qui peuvent être aussi bien des échantillons que les coefficients de sa décomposition sur une base quelconque, Fourier ou autre), on dit que cette représentation est parcimonieuse si la proportion de coefficients non nuls, ou numériquement significatifs, est faible. Pour préciser cette notion, il est nécessaire de définir une mesure de dispersion de la famille de coefficients (on parle aussi de diversité). Les choix les plus courants sont les normes (voir annexe section 7.1 pour la définition), avec p < 2, les choix classiques étant p = 0 (dans ce cas, la diversité est simplement le nombre de coefficients non nuls) et p = 1.

On a parfois également recours à d'autres mesures de diversité, comme par exemple l'entropie de Shannon

où les coefficients sont obtenus par normalisation des coefficients initiaux :...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - CARMONA (R.), HWANG (W.L.), TORRÉSANI (B.) -   Practical Time-Frequency Analysis : continuous wavelet and Gabor transforms, with an implementation in S  -  volume 9 of Wavelet Analysis and its Applications. Academic Press, San Diego (1998).

  • (2) - DAUBECHIES (I.) -   Ten lectures on wavelets  -  SIAM, Philadelphia, PA (1992).

  • (3) - DAUBECHIES (I.), DEFRISE (M.), DE MOL (Ch.) -   An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint  -  Communications in Pure and Applied Mathematics, 57(11) : 1413 1457 (2004).

  • (4) - FLANDRIN (P.) -   Temps-Fréquence  -  Traité des Nouvelles Technologies, série Traitement du Signal. Hermés, Paris (1993).

  • (5) - GERSHO (A.), GRAY (R.M.) -   Vector quantization and signal compression  -  Kluwer, Boston (1992).

  • (6) - JAYANT (N.S.), NOLL (P.) -   Digital coding of waveforms  -  Prentice-Hall...

1 Outils logiciels

Peter Söndergaard. Ltfat, the linear time-frequency analysis toolbox (matlab/octave, freeware), 2009

http://ltfat.sourceforge.net

The Mathworks. Matlab, 2009

http://www.mathworks.fr/

Auteurs multiples. Mathtools.net, link exchange for the technical computing community, 2009

http://www.mathtools.net/MATLAB/Signal_processing/index.html

Auteurs multiples. Wavelab 8.5, wavelet analysis matlab toolbox (freeware), 2009

http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/

The Free Software Foundation. Octave, 2009

http://www.gnu.org/software/octave/

HAUT DE PAGE

2 Sites Internet

Rice University DSP group. Compressed sensing resources, 2009

http://www.dsp.ece.rice.edu/cs

Thomas Ströhmer. A first guided tour on the irregular sampling problem, 2000

http://www.math.ucdavis.edu/~strohmer/research/sampling/irsampl.html

Bruno Torrésani. Méthodes mathématiques pour le traitement du signal, 2009, site du cours de Master Mathématiques et Applications, Université de Provence, Marseille

http://www.latp.univ-mrs.fr/~torresan/MMTS.html

Alain Yger. Méthodes mathématiques pour le traitement du signal, 2009, cours de Master Ingéniérie...

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