Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
La méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) consiste à évaluer la fiabilité des résultats fournis par l'ordinateur. En effet, celui-ci réalise des calculs utilisant une représentation finie (nombres à virgules flottantes) des nombres réels, alors que ces nombres sont non finis. D'où résultats avec incertitudes, erreurs d'arrondis et risque d'invalidation. Cette méthode permet grâce à un procédé statistique dynamique, de déterminer le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique. Cet article décrit le principe de la méthode ainsi que des exemples d'utilisation du logiciel CADNA (logiciel permettant cette validation numérique).
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The CESTAC method (Control and stochastic estimate of rounded calculation) consists in assessing the reliability of the results provided by the computer. Indeed, the computer makes calculations wich use a finite representation (floating point numbers) of real numbers even though these numbers are non-finite. This generates results with uncertainties, rounding errors and invalidation risks. Through the use of a dynamic statistical process, this method allows to determine the number of exact significant decimal digits in the results provided by scientific calculation programmes. This article describes the principles of the method and provides examples concerning the use of the CADNA software (wich allows for this numerical validation).
Auteur(s)
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Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
-
René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les chapitres suivants sont consacrés à l'approche stochastique de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données sur les résultats fournis par un programme scientifique.
C'est la seule méthode permettant à chaque ingénieur de répondre à la question posée précédemment qui en substance est : « Quel est le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique ? »
Ainsi, la méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) est détaillée au chapitre 2, puis l'arithmétique stochastique est présentée au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à la description et à l'utilisation du logiciel CADNA (« Control of Accuracy and Debugging of Numerical Algorithms »). Ce logiciel met en œuvre la méthode CESTAC et l'arithmétique stochastique discrète.
Les chapitres 5 et 6 sont dédiés à l'apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul numérique (directes, itératives et approchées) et à des exemples d'utilisation de ce logiciel. La conclusion constitue le chapitre 7.
Toute l'introduction de ces questions est faite dans le dossier [AF 1 470], la documentation est regroupée dans Validation des résultats des logiciels scientifiques[Doc. AF 1 470].
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Estimation de l'influence des erreurs d'arrondi et des incertitudes des données7. Conclusion
Après avoir défini l'arithmétique approchée (arithmétique en virgule flottante) des ordinateurs et montré les conséquences de cette arithmétique au niveau de chaque opération arithmétique élémentaire, nous avons présenté diverses approches déterministes et probabilistes d'estimation de la propagation des erreurs d'arrondi en calcul scientifique.
Nous avons aussi proposé une méthode d'évaluation de l'influence des incertitudes des données sur les résultats de calcul. Dans le domaine des approches déterministes nous avons d'une part présenté l'analyse régressive des erreurs d'arrondi encore appelée analyse a posteriori due à J.H. Wilkinson ainsi qu'un schéma formalisé d'analyse d'erreur du à F.W. Olver, et d'autre part considéré les méthodes basées sur l'arithmétique d'intervalles.
L'essence de l'analyse régressive est de considérer que tout résultat informatique issu d'une suite ordonnée de calculs effectués sur des données, n'est rien d'autre que le résultat exact de cette même suite de calculs effectués sur les mêmes données mais perturbées.
Cette méthode est très intéressante pour la compréhension de la propagation des erreurs d'arrondi lors de l'exécution sur ordinateur d'un algorithme numérique. Elle est par conséquent féconde pour étudier la stabilité numérique des algorithmes. Toutefois, sa mise en œuvre nécessite une étude détaillée souvent longue et délicate de l'algorithme considéré.
Comme, de plus, une majorante de l'erreur d'arrondi est estimée au niveau de chaque opération arithmétique en virgule flottante, la méthode conduit, lors de son utilisation sur un algorithme exécuté sur ordinateur avec des données spécifiques, à une estimation trop pessimiste de l'erreur d'arrondi sur tout résultat fourni par la machine. Comme le formalisme dû à F.W. Olver, l'analyse régressive offre à l'analyste numéricien un cadre d'étude théorique rigoureux. Basé sur cette approche un logiciel nommé PRECISE a été développé dans les années 1990 qui permet de détecter les instabilités dans les algorithmes numériques et ainsi de guider le programmeur dans le choix de la méthode à utiliser.
En ce qui concerne l'arithmétique d'intervalles, son principe consiste à considérer que tout élément de l'ensemble
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Méthodes numériques de base – Analyse numérique. - [AF 1 220] (2006).
-
(2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) - Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre. - Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).
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(3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) - Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur. - Éd. Technip, Paris (1993).
-
(4) - MULLER (J.M.) - L'arithmétique des ordinateurs, - Masson, 1989.
-
(5) - GAO/Imtec-92-26 - Patriot missile Defense. - Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).
-
(6) - RUMP (S.M.) - How reliable are results of computers ? - Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).
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...
NORMES
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Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08
1.1 Sites web où les logiciels cités sont disponibles
Liste non exhaustive.
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