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RÉSUMÉ
La méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) consiste à évaluer la fiabilité des résultats fournis par l'ordinateur. En effet, celui-ci réalise des calculs utilisant une représentation finie (nombres à virgules flottantes) des nombres réels, alors que ces nombres sont non finis. D'où résultats avec incertitudes, erreurs d'arrondis et risque d'invalidation. Cette méthode permet grâce à un procédé statistique dynamique, de déterminer le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique. Cet article décrit le principe de la méthode ainsi que des exemples d'utilisation du logiciel CADNA (logiciel permettant cette validation numérique).
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
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René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Les chapitres suivants sont consacrés à l'approche stochastique de la propagation des erreurs d'arrondi et de l'influence des incertitudes des données sur les résultats fournis par un programme scientifique.
C'est la seule méthode permettant à chaque ingénieur de répondre à la question posée précédemment qui en substance est : « Quel est le nombre de chiffres décimaux significatifs exacts dans les résultats fournis par un programme de calcul scientifique ? »
Ainsi, la méthode CESTAC (Contrôle et estimation stochastique des arrondis de calculs) est détaillée au chapitre 2, puis l'arithmétique stochastique est présentée au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à la description et à l'utilisation du logiciel CADNA (« Control of Accuracy and Debugging of Numerical Algorithms »). Ce logiciel met en œuvre la méthode CESTAC et l'arithmétique stochastique discrète.
Les chapitres 5 et 6 sont dédiés à l'apport du logiciel CADNA aux diverses méthodes de calcul numérique (directes, itératives et approchées) et à des exemples d'utilisation de ce logiciel. La conclusion constitue le chapitre 7.
Toute l'introduction de ces questions est faite dans le dossier [AF 1 470], la documentation est regroupée dans [Doc. AF 1 470].
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4. Logiciel CADNA
4.1 Introduction
Le logiciel CADNA (voir [Doc. AF 1 470]) (Control of Accuray and Debugging for Numerical Applications ) implémente l'arithmétique stochastique discrète (ASD) présentée au chapitre 3 précédent. Compte tenu des propriétés de l'ASD, le logiciel CADNA a été construit avec trois objectifs :
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estimer pour tout résultat de programme scientifique son nombre de chiffres décimaux significatifs exacts en tenant compte, d'une part de la propagation des erreurs d'arrondi et, d'autre part de l'influence des incertitudes sur les données ;
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détecter au cours de l'exécution du programme les instabilités numériques, contrôler les débranchements et vérifier si l'hypothèse 2 qui garantit la fiabilité des résultats est satisfaite. Si tel n'est pas le cas, des messages sont inscrits à la fin de l'exécution du programme et l'utilisateur doit considérer que les résultats ne sont pas fiables et doit alors faire le débogage numérique du programme. En revanche, si aucun message n'apparaît, cela signifie que les résultats fournis sont fiables ;
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permettre, si nécessaire, le débogage numérique du programme. Cela consiste, à l'aide du débogueur symbolique du langage de programmation utilisé à trouver quelle est l'instruction qui est la cause de l'anomalie numérique repérée par CADNA. L'utilisateur peut alors essayer d'améliorer les formules numériquement instables, par exemple, en les remplaçant par des expressions équivalentes mais plus stables numériquement.
Nous présentons ici le logiciel CADNA écrit pour le langage Fortran. La même présentation peut être faite pour les langages C et ADA. Les principales spécificités de ce logiciel sont les suivantes :
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tous les opérateurs numériques, affectation, +, –, *, / ont été surchargés par les opérateurs stochastiques discrets correspondants afin que lorsqu'un tel opérateur est utilisé, les opérandes et le résultat soient...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREZINSKI (C.) - Méthodes numériques de base – Analyse numérique. - [AF 1 220] (2006).
-
(2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) - Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre. - Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).
-
(3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) - Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur. - Éd. Technip, Paris (1993).
-
(4) - MULLER (J.M.) - L'arithmétique des ordinateurs, - Masson, 1989.
-
(5) - GAO/Imtec-92-26 - Patriot missile Defense. - Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).
-
(6) - RUMP (S.M.) - How reliable are results of computers ? - Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).
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...
NORMES
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Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08
1.1 Sites web où les logiciels cités sont disponibles
Liste non exhaustive.
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