Annexe – étude de la solution de la forme Tmax − 0 − Tmax lorsque ph ≠ 0
Trajectoires spatiales - Solutions en Terre plate

Les problèmes de trajectoires spatiales peuvent rarement se résoudre de manière analytique. En faisant l’hypothèse d’une Terre plate avec une gravité constante, sans atmosphère ou avec un modèle d’atmosphère simplifié, on simplifie fortement les équations du mouvement, ce qui permet dans certains cas de trouver des solutions explicites. Ces solutions sont utiles pour donner rapidement des ordres de grandeur de performances en phase d’avant-projet ou pour initialiser une résolution numérique avec des modèles plus réalistes. Cet article expose la résolution de quatre problèmes classiques de trajectoires de lancement en Terre plate, puis une méthode pour passer à la solution en Terre ronde.

Le premier problème traite le tir balistique de portée maximale à accélération constante. La solution en Terre plate sans atmosphère montre que la direction de poussée optimale est constante. L’assiette de poussée s’obtient en résolvant une équation à une inconnue dépendant uniquement du niveau d’accélération.

Le deuxième problème traite l’injection en orbite à accélération constante. La solution en Terre plate sans atmosphère montre que la direction de poussée suit une loi tangente linéaire. Le problème se réduit à une équation à une inconnue, ce qui permet d’évaluer l’impulsion requise selon le niveau d’accélération et l’altitude visée.

Le troisième problème traite le tir vertical d’apogée maximal en supposant la poussée variable. Il s’agit du problème de Goddard dont la solution peut comporter un arc à poussée variable non maximale en présence de freinage aérodynamique. Cet arc singulier se détermine analytiquement en fonction de la trainée de la fusée.

Le quatrième problème traite l’injection en orbite en supposant la poussée variable. La solution optimale en Terre plate sans atmosphère consiste en un seul arc à poussée maximale. Le problème de contrôle optimal se réduit à un système à deux inconnues qui se résout aisément par une méthode de tir.

La dernière partie concerne le passage de Terre plate et gravité constante en Terre ronde et gravité variable. La transformation s’effectue par un changement de coordonnées et une méthode de continuation permettant d’introduire progressivement la courbure de la Terre et la gravité variable.

Les quatre problèmes traités sont indépendants. Cet article présente pour chacun la modélisation, la résolution analytique du problème de contrôle optimal et une application numérique illustrative.