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RÉSUMÉ
Cet article, le deuxième d’une série de trois, traite des logiques classiques qui donneront naissance à la logique mathématique à la fin du XIXe siècle. La logique des propositions est d’abord présentée. Ensuite, est exposée la logique des prédicats qui s’est imposée au tournant du XIXe et du XXe siècle, car admettant un plus grand pouvoir expressif. De nombreux exemples didactiques et applicatifs illustrent les propos. En annexe, sont listées les propriétés des connecteurs logiques et les formes logiques utilisées comme axiomes ou règles d’inférences, ainsi qu’une liste de notations.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
Cet article est le deuxième d’une série de trois sur la logique, dont le premier portait sur la « logique et la métalogique » [AF 88] et le troisième traitera des « logiques non classiques » [AF 91]. La lecture de [AF 88] n’est pas un préliminaire requis, même si elle permettrait de mieux comprendre le présent article, mais le lecteur pourra s’y reporter si besoin.
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1. Logique des propositions
Définition (logique des propositions). La logique des propositions (propositional logic or sentential logic or statement logic) est une branche de la logique qui traite des relations logiques entre « propositions » (qui peuvent être vraies ou fausses). Elle comporte deux aspects : le langage des propositions et le calcul des propositions.
Le langage des propositions est un langage formel qui :
-
syntaxiquement définit les règles grammaticales formelles selon lesquelles les propositions complexes sont constituées en assemblant des propositions simples au moyen des connecteurs logiques et celles-ci sont enchaînées pour produire des propositions complexes ;
-
et sémantiquement assigne à chaque proposition élémentaire et donc subséquemment à chaque proposition complexe une valeur de vérité.
À ce langage des propositions est adjoint un système de déduction appelé calcul des propositions qui fixe les axiomes et les règles d’inférences qui permettent de construire les démonstrations.
La logique des propositions est considérée comme la forme moderne de la logique mégaro-stoïcienne de la Grèce antique [AF 88]. La logique des propositions constitue la première étape dans la construction de la logique mathématique.
1.1 Le langage des propositions
Le langage des propositions comporte trois aspects : l’alphabet qui définit le vocabulaire symbolique de base, la syntaxe qui détermine les règles de formation (grammaticales) permettant de construire des propositions complexes, et la sémantique qui interprète ces propositions comme exprimant des relations entre les éléments appartenant à un domaine de discours [AF 88] comprenant...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLEN (C.), HAND (M.) - Logic Primer, - Massachusetts Institute of Technology, 2nd ed., xvii + 191 pages (2001).
-
(2) - ALLIOT (J.-M.), SCHIEX (T.), BRISSET (P.), GARCIA (F.) - Intelligence artificielle & informatique théorique, - Cépadues, 2nde éd., 543 pages (2002).
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(3) - BELNA (J.-P.) - Histoire de la logique, - Ellipses, 165 pages (2014).
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(4) - BERNADET (M.) - Introduction pratique aux logiques non classiques, - Hermann, vi + 203 pages (2011).
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(5) - BILANIUK (S.) - A Problem Course in Mathematical Logic, - Version 1.6, 154 pages (1994-2003).
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(6) - BOCHEŃSKI (J.M.) - A Precis of Mathematical Logic, - Springer, 100 pages (1959).
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