Présentation

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1 - PRÉAMBULE

  • 1.1 - Éléments historiques
  • 1.2 - Branches des mathématiques concernées
  • 1.3 - Intérêts théoriques et pratiques
  • 1.4 - Lectorat et conseil de lecture

2 - RAPPELS DE THÉORIE DES ENSEMBLES

  • 2.1 - Ensembles
  • 2.2 - Cardinalité
  • 2.3 - Collections, familles, recouvrements et raffinements
  • 2.4 - Relations, équivalence et ordre
  • 2.5 - Ensembles pré-ordonnés filtrants
  • 2.6 - Sous-ensembles emboîtés
  • 2.7 - Applications entre deux ensembles
  • 2.8 - Autres applications

3 - ESPACES TOPOLOGIQUES

  • 3.1 - Espaces topologiques
  • 3.2 - Opérateurs de fermeture et de pré-fermeture
  • 3.3 - Notation générique
  • 3.4 - Sous-ensembles généraux
  • 3.5 - Comparaison et hiérarchie des topologies
  • 3.6 - Collections de sous-ensembles particulières
  • 3.7 - Points particuliers

4 - SUITES DE POINTS ET DE SOUS-ENSEMBLES

  • 4.1 - Suites et suites généralisées d’éléments
  • 4.2 - Suites de sous-ensembles
  • 4.3 - Suites particulières

5 - APPLICATIONS ENTRE ESPACES TOPOLOGIQUES I

  • 5.1 - Applications ouvertes et applications fermées
  • 5.2 - Applications continues
  • 5.3 - Continuité séquentielle
  • 5.4 - Bi-continuité et homéomorphismes

6 - NOTIONS DE SÉPARATION

  • 6.1 - Indistinguabilité
  • 6.2 - Séparation de Lennes et Hausdorff
  • 6.3 - Séparation par des voisinages et des fonctions
  • 6.4 - Séparation T0 (Kolmogorov)
  • 6.5 - Séparation T1 (Fréchet)
  • 6.6 - Séparation T2 (Hausdorff)
  • 6.7 - Séparation (Urysohn)
  • 6.8 - Séparation fonctionnelle de Hausdorff
  • 6.9 - Séparation T3 et régularité
  • 6.10 -  Séparation et complète régularité
  • 6.11 -  Séparation T4 et normalité
  • 6.12 -  Séparation T5 et complète normalité
  • 6.13 -  Séparation T6 et normalité parfaite
  • 6.14 -  Relations entre les notions de séparations
  • 6.15 -  Intérêts du concept de séparation

7 - NOTIONS DE DÉNOMBRABILITÉ

  • 7.1 - Espaces topologiques à bases dénombrables de voisinages
  • 7.2 - Espaces topologiques à base dénombrable d’ouverts
  • 7.3 - Espaces topologiques séparables
  • 7.4 - Espaces topologiques séquentiels
  • 7.5 - Espaces topologiques dénombrablement engendrés
  • 7.6 - Espaces topologiques d’Alexandroff
  • 7.7 - Espaces topologiques localement finis
  • 7.8 - Espaces de Gillman et Henriksen
  • 7.9 - Relations entre les notions de dénombrabilité
  • 7.10 -  Intérêts du concept de dénombrabilité

8 - NOTIONS DE COMPACITÉ

  • 8.1 - Espaces topologiques compacts
  • 8.2 - Sous-espaces topologiques relativement compacts
  • 8.3 - Espaces topologiques localement compacts
  • 8.4 - Espaces topologiques compactement engendrés
  • 8.5 - Espaces topologiques dénombrablement compacts
  • 8.6 - Espaces topologiques dénombrablement bornés
  • 8.7 - Espaces topologiques paracompacts
  • 8.8 - Espaces topologiques métacompacts
  • 8.9 - Espaces topologiques dénombrablement paracompacts
  • 8.10 -  Espaces topologiques de Lindelöf
  • 8.11 -  Espaces topologiques σ-compacts
  • 8.12 -  Espaces topologiques pseudo-compacts
  • 8.13 -  Espaces topologiques séquentiellement compacts
  • 8.14 -  Espaces topologiques faiblement dénombrablement compacts
  • 8.15 -  Autres relations entre les notions de compacité
  • 8.16 -  Relations entre les notions de compacité
  • 8.17 -  Intérêts du concept de compacité

9 - NOTIONS DE CONNEXITÉ ET DE DISCONTINUITÉ

  • 9.1 - Connexité
  • 9.2 - Composantes connexes
  • 9.3 - Connexité séquentielle
  • 9.4 - Connexité par chemins
  • 9.5 - Connexité locale
  • 9.6 - Ultra-connexité
  • 9.7 - Hyper-connexité
  • 9.8 - Relations entre les notions de connexité
  • 9.9 - Discontinuité totale
  • 9.10 -  Discontinuité extrêmale
  • 9.11 -  Relations entre les notions de discontinuité
  • 9.12 -  Intérêts des concepts duaux de connexité et de discontinuité
  • 9.13 -  Espaces topologiques uni-cohérents
  • 9.14 -  Théorème des valeurs intermédiaires
  • 9.15 -  Points de déconnexion

10 -  COMPACTIFICATION

  • 10.1 -  Compactification de Hausdorff
  • 10.2 -  Compactification Stone et de Čech
  • 10.3 -  Compactification d’Alexandroff
  • 10.4 -  Autres compactifications

11 -  APPLICATIONS ENTRE ESPACES TOPOLOGIQUES II

  • 11.1 -  Applications particulières
  • 11.2 -  Extension et insertion de fonctions

12 -  PRÉSERVATION ET INVARIANCE DES PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES

  • 12.1 -  Types de propriétés topologiques
  • 12.2 -  Séparation
  • 12.3 -  Dénombrabilité
  • 12.4 -  Compacité
  • 12.5 -  Connexité
  • 12.6 -  Autre propriétés
  • 12.7 -  Préservation pas un homéomorphisme local

13 -  CONCLUSION

  • 13.1 -  Autres notions
  • 13.2 -  Problèmes non résolus et questions ouvertes
  • 13.3 -  Applications inattendues
  • 13.4 -  Nouvelles applications et nouveaux développements théoriques

Article de référence | Réf : AF97 v1

Espaces topologiques
Espaces topologiques I  - Notions de base

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021

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Sommaire

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RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et aussi dans de nombreuses autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces topologiques, et traite des notions de base de ces espaces, qui sont des ensembles dans lesquels sont rigoureusement définis les voisinages en chacun de leurs points, les suites de points et de sous-ensembles convergentes, ainsi que les applications continues entre ces deux types espaces. Les concepts majeurs sont ceux de séparation, de dénombrabilité, de compacité, et de connexité.

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ABSTRACT

Topological Spaces I. Basic Notions

General topology is the branch of mathematics that deals with the fundamental concepts used in topology, and their properties. Theoretical and applicational utility is found in all branches of analysis and geometry, and in many other scientific disciplines outside mathematics. This article concerns topological spaces, and covers the basics of these spaces, which are sets in which neighborhoods are rigorously defined in all of their points, convergent sequences of points and subsets, and continuous applications between two such spaces. The major concepts are those of separation, countability, compactness and connectedness.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France -

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles : les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

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KEYWORDS

continuity   |   compactness   |   connectedness   |   convergence

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af97


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3. Espaces topologiques

En mathématiques, un espace (space) est un ensemble E équipé d’une structure additionnelle (p. 7 de ) ; par exemple, une structure algébrique ou topologique. Un élément de E est alors appelé un point (point) de l’espace.

3.1 Espaces topologiques

HAUT DE PAGE

3.1.1 Définition par les ouverts

Définition (espace topologique, axiomes pour les ouverts). Un espace topologique (topological space) est une paire consistant en un ensemble E et une collection de sous-ensembles de E, appelés les ensembles ouverts (open sets), satisfaisant aux trois axiomes suivants (p. 5 de ) :

(i) Le sous-ensemble vide et l’ensemble E sont des ouverts ;

(ii) L’union d’un nombre quelconque d’ouverts est un ouvert ;

(iii) L’intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert.

La collection est appelée topologie (topology).

Les ensembles complémentaires dans E aux ensembles ouverts sont appelés les ensembles fermés...

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Espaces topologiques
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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) -   Dimension and Extensions,  -  North Holland, 331 pages (1993).

  • (2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) -   Introduction to Topology Pure and Applied,  -  Pearson, 507 pages (2008).

  • (3) - ADAMSON (I.T.) -   A General Topology Workbook,  -  Springer, 152 pages (1993).

  • (4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) -   Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,  -  Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).

  • (5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) -   Topics on Analysis in Metric Spaces,  -  Oxford University Press, 133 pages (2004).

  • (6) - APPERT (A.) -   Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles...

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QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE

1/ Quiz d'entraînement

Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.

2/ Test de validation

Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.

Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.


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