Applications entre espaces topologiques I
Espaces topologiques I - Notions de base

AF97 v1 Article de référence

Applications entre espaces topologiques I
Espaces topologiques I - Notions de base

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021 | Read in English

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Présentation

1 - Préambule

1.1 - Éléments historiques
1.2 - Branches des mathématiques concernées
1.3 - Intérêts théoriques et pratiques
1.4 - Lectorat et conseil de lecture

2 - Rappels de théorie des ensembles

2.1 - Ensembles
2.2 - Cardinalité
2.3 - Collections, familles, recouvrements et raffinements
2.4 - Relations, équivalence et ordre
2.5 - Ensembles pré-ordonnés filtrants
2.6 - Sous-ensembles emboîtés
2.7 - Applications entre deux ensembles
2.8 - Autres applications

3 - Espaces topologiques

3.1 - Espaces topologiques
3.2 - Opérateurs de fermeture et de pré-fermeture
3.3 - Notation générique
3.4 - Sous-ensembles généraux
3.5 - Comparaison et hiérarchie des topologies
3.6 - Collections de sous-ensembles particulières
3.7 - Points particuliers
- Quiz d'entraînement

4 - Suites de points et de sous-ensembles

4.1 - Suites et suites généralisées d’éléments
4.2 - Suites de sous-ensembles
4.3 - Suites particulières

5 - Applications entre espaces topologiques I

5.1 - Applications ouvertes et applications fermées
5.2 - Applications continues
5.3 - Continuité séquentielle
5.4 - Bi-continuité et homéomorphismes

6 - Notions de séparation

6.1 - Indistinguabilité
6.2 - Séparation de Lennes et Hausdorff
6.3 - Séparation par des voisinages et des fonctions
6.4 - Séparation T0 (Kolmogorov)
6.5 - Séparation T1 (Fréchet)
6.6 - Séparation T2 (Hausdorff)
6.7 - Séparation (Urysohn)
6.8 - Séparation fonctionnelle de Hausdorff
6.9 - Séparation T3 et régularité
6.10 - Séparation et complète régularité
6.11 - Séparation T4 et normalité
6.12 - Séparation T5 et complète normalité
6.13 - Séparation T6 et normalité parfaite
6.14 - Relations entre les notions de séparations
6.15 - Intérêts du concept de séparation
- Quiz d'entraînement

7 - Notions de dénombrabilité

7.1 - Espaces topologiques à bases dénombrables de voisinages
7.2 - Espaces topologiques à base dénombrable d’ouverts
7.3 - Espaces topologiques séparables
7.4 - Espaces topologiques séquentiels
7.5 - Espaces topologiques dénombrablement engendrés
7.6 - Espaces topologiques d’Alexandroff
7.7 - Espaces topologiques localement finis
7.8 - Espaces de Gillman et Henriksen
7.9 - Relations entre les notions de dénombrabilité
7.10 - Intérêts du concept de dénombrabilité

8 - Notions de compacité

8.1 - Espaces topologiques compacts
8.2 - Sous-espaces topologiques relativement compacts
8.3 - Espaces topologiques localement compacts
8.4 - Espaces topologiques compactement engendrés
8.5 - Espaces topologiques dénombrablement compacts
8.6 - Espaces topologiques dénombrablement bornés
8.7 - Espaces topologiques paracompacts
8.8 - Espaces topologiques métacompacts
8.9 - Espaces topologiques dénombrablement paracompacts
8.10 - Espaces topologiques de Lindelöf
8.11 - Espaces topologiques σ-compacts
8.12 - Espaces topologiques pseudo-compacts
8.13 - Espaces topologiques séquentiellement compacts
8.14 - Espaces topologiques faiblement dénombrablement compacts
8.15 - Autres relations entre les notions de compacité
8.16 - Relations entre les notions de compacité
8.17 - Intérêts du concept de compacité
- Quiz d'entraînement

9 - Notions de connexité et de discontinuité

9.1 - Connexité
9.2 - Composantes connexes
9.3 - Connexité séquentielle
9.4 - Connexité par chemins
9.5 - Connexité locale
9.6 - Ultra-connexité
9.7 - Hyper-connexité
9.8 - Relations entre les notions de connexité
9.9 - Discontinuité totale
9.10 - Discontinuité extrêmale
9.11 - Relations entre les notions de discontinuité
9.12 - Intérêts des concepts duaux de connexité et de discontinuité
9.13 - Espaces topologiques uni-cohérents
9.14 - Théorème des valeurs intermédiaires
9.15 - Points de déconnexion

10 - Compactification

10.1 - Compactification de Hausdorff
10.2 - Compactification Stone et de Čech
10.3 - Compactification d’Alexandroff
10.4 - Autres compactifications
- Quiz d'entraînement

11 - Applications entre espaces topologiques II

11.1 - Applications particulières
11.2 - Extension et insertion de fonctions

12 - Préservation et invariance des propriétés topologiques

12.1 - Types de propriétés topologiques
12.2 - Séparation
12.3 - Dénombrabilité
12.4 - Compacité
12.5 - Connexité
12.6 - Autre propriétés
12.7 - Préservation pas un homéomorphisme local
- Quiz d'entraînement

13 - Conclusion

13.1 - Autres notions
13.2 - Problèmes non résolus et questions ouvertes
13.3 - Applications inattendues
13.4 - Nouvelles applications et nouveaux développements théoriques

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et aussi dans de nombreuses autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces topologiques, et traite des notions de base de ces espaces, qui sont des ensembles dans lesquels sont rigoureusement définis les voisinages en chacun de leurs points, les suites de points et de sous-ensembles convergentes, ainsi que les applications continues entre ces deux types espaces. Les concepts majeurs sont ceux de séparation, de dénombrabilité, de compacité, et de connexité.

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

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Auteur(s)

Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Johan Debayle pour son intérêt scientifique.

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles : les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

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MOTS-CLÉS

continuité compacité connexité convergence

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af97

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5. Applications entre espaces topologiques I

Le support d’une fonction f définie sur un espace topologique $(E, T)$ et à valeurs réelles est le sous-ensemble suivant (p. 170 de ) :

supp (f) : = {x \in E | f (x) \neq 0} .

C’est le sous-ensemble complémentaire du noyau Z_E (f) de f (p. 61 de ). Souvent c’est la fermeture du support qui est effectivement considérée comme support (p. 61 de , p. 120 de ).

5.1 Applications...

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