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RÉSUMÉ
La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et aussi dans de nombreuses autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces topologiques, et traite des notions de base de ces espaces, qui sont des ensembles dans lesquels sont rigoureusement définis les voisinages en chacun de leurs points, les suites de points et de sous-ensembles convergentes, ainsi que les applications continues entre ces deux types espaces. Les concepts majeurs sont ceux de séparation, de dénombrabilité, de compacité, et de connexité.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Johan Debayle pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La topologie générale est présentée en une série de six articles : les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.
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6. Notions de séparation
Les axiomes de séparation (separation axioms) portent sur les différents moyens permettant de distinguer topologiquement des points distincts (en tant qu’éléments), ainsi que des sous-ensembles disjoints (d’un point de vue ensembliste) dans un espace topologique. Un grand nombre d’entre-deux sont désignés par la lettre majuscule T d’après l’initiale du mot allemand « Trennungsaxiom » (Tietze, 1923, Alexandrov et Hopf, 1935) (p. 266 de ), et par des indices numériques, en principe d’autant plus restrictifs qu’ils sont élevés et les topologies correspondantes plus fines (i.e. contenant plus d’ouverts et donc de fermés et ainsi de voisinages).
6.1 Indistinguabilité
Deux points ou deux sous-ensembles d’un espace topologique
sont indistinguables (indistinguishable) s’ils possèdent exactement les mêmes voisinages. L’indistinguabilité (Poincaré, 1905) définie une relation d’équivalence sur un espace topologique (p. 146 de ).
6.2 Séparation de Lennes et Hausdorff
Deux sous-ensembles disjoints peuvent se « toucher » topologiquement (p. 145 de ), c’est-à-dire avoir des points adhérents en commun,...
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Notions de séparation
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) - Dimension and Extensions, - North Holland, 331 pages (1993).
-
(2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) - Introduction to Topology Pure and Applied, - Pearson, 507 pages (2008).
-
(3) - ADAMSON (I.T.) - A General Topology Workbook, - Springer, 152 pages (1993).
-
(4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) - Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, - Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).
-
(5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) - Topics on Analysis in Metric Spaces, - Oxford University Press, 133 pages (2004).
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(6) - APPERT (A.) - Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles...
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