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RÉSUMÉ
La géométrie stochastique traite des modèles et des propriétés stochastiques des ensembles géométriques aléatoires, principalement dans les espaces euclidiens. Le propos de cet article est de présenter une synthèse des concepts et notions de base de la géométrie stochastique dans les espaces euclidiens à dimensions. Il contient d’abord quelques rappels. Ensuite, les ensembles fermés aléatoires et leurs propriétés sont introduits. Puis leurs fonctionnelles, fonctions de covariance et principales statistiques spatiales sont exposées. Les modèles aléatoires suivants sont ensuite décrits: de points, de particules, de courbes, et de surfaces. Des éléments d’estimation statistique de caractéristiques spatiales numériques et de tests d’hypothèse de stochasticité sont fournis.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Frédéric Gruy pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La géométrie stochastique (Stochastic Geometry) est une branche des mathématiques dont le nom est apparu dans les années 1960 .
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Géométrie et probabilités
La géométrie stochastique traite de l’application des notions et outils de la théorie des probabilités (Probability Theory) à la géométrie, généralement euclidienne. Elle s’intéresse à l’étude des distributions spatiales d’objets géométriques aléatoires (par exemple, en dimension inférieure ou égale à 3 : points, courbes, surfaces, ou corps). Du point de vue géométrique, la géométrie stochastique est l’héritière des probabilités géométriques (Geometric Probability) , où les événements aléatoires ne sont plus « comptés », mais « mesurés ». Elle repose largement sur la géométrie convexe (Convex Geometry) , la géométrie intégrale (Integral Geometry) et sur la théorie de la mesure géométrique (Geometric Measure Theory) . La théorie des processus de points spatiaux (Spatial Point Process Theory) est aussi fondamentale.
La géométrie stochastique se fonde essentiellement sur deux notions générales : les ensembles aléatoires et les mesures aléatoires . L’origine du concept moderne d’ensemble aléatoire (random set) remonte à Kolmogorov (1933), avant que Robbins (1944, 1945) en établisse les premières formulations mathématiques, notamment en lien avec les probabilités géométriques. Puis, Kendall (1974) et surtout Matheron (1972, 1975) fondèrent la théorie des ensembles aléatoires. Le traité classique sur les mesures aléatoires (random measures) est le livre de Kallenberg .
La géométrie stochastique est accompagnée par les statistiques spatiales (Spatial Statistics) comme la théorie des probabilités l’est par les statistiques mathématiques (Mathematical Statistics) .
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Les applications de la géométrie stochastique
La géométrie stochastique propose des modèles spatiaux pour la description en deux ou trois dimensions des structures spatiales aux échelles micro, méso et macro, ainsi que les méthodes statistiques associées.
Les applications pratiques de la géométrie stochastique sont très nombreuses et concernent une gamme étendue de disciplines scientifiques et de domaines d’ingénierie, technologiques, ou biomédicaux : agroalimentaire (e.g. emplacement des animaux ou des plantes selon l’existence de prédateurs ou de la nourriture), anatomie (e.g. analyse de la variabilité anatomique d’un spécimen), archéologie (e.g. croissance démographique d’une cité humaine) astronomie (e.g. détermination des arrangements spatiaux dans les galaxies), biologie (e.g. croissance cellulaire et morphogénèse), biométrie (e.g. reconnaissance d’empreintes digitales), botanique (e.g. étude de la biodiversité des espèces animales), criminologie (e.g. suivi de l’intensité de la criminalité violente), chimie (e.g. nucléation et croissance cinétique), cytologie (e.g. dénombrement et classification spatiales de cellules tumorales), dermatologie (e.g. détection et quantification de l’hyperpigmentation de la peau), écologie (e.g. étude de l’influence des plantons marins), épidémiologie (e.g. évolution d’une épidémie), génie des matériaux (e.g. positions de défauts dans des matériaux industriels) génie des procédés (e.g. peintures, encres, aliments, crèmes, lotions, …), géographie (e.g. positions des établissements humains ou des villes), géologie (e.g. découverte et extraction de minerais), histologie (e.g. classification et graduation de tissus cancéreux), métallurgie (e.g. optimisation de procédés de traitement de poudres), médecine (e.g. analyse spatiale du lien entre les points de vente d’alcool et des agressions de personnes), météorologie (e.g. étude des précipitations dans une région), minéralurgie (e.g. localisation des gisements de minéraux), neurologie (e.g. échanges entre les extrémités des neurones), plasturgie (e.g. cristallisation de polymères), neurologie (e.g. quantification des altérations neuronales), pharmacologie (e.g. analyse de la distribution des vésicules synaptiques dans les échanges neuronaux en relation avec une médication), pétrographie (e.g. découverte des gisements et extraction du pétrole), sciences des matériaux (e.g. caractérisation des milieux fibreux, granulaires, poreux), sylviculture (e.g. analyse des plantations d’arbres), séismologie (e.g. répartition des épicentres des séismes), télécommunications (e.g. architecture des réseaux de communication), zoologie (e.g. organisation des terriers ou nids d’animaux).
Le lecteur pourra se reporter à l’article [AF213] pour ce qui concerne la théorie de la mesure géométrique.
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estimateurs fonctionnelles ensemblistes ensembles fermés aléatoires champ de points aléatoires champs d'objets géométriques aléatoires
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ARTSTEIN (Z.), VITALE (R. A.) - A strong law for large numbers for random compact sets, - The Annals of Probability, Vol. 3, N° 5, pp. 879-882, (1975).
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(2) - BADDELEY (A. J) - A crash course in stochastic geometry. - In : Stochastic Geometry : Likelihood and Computation, Eds : O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall and M.-C. N. M. van Lieshout, pp. 1-35, Chapman and Hall, (1999).
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(3) - BADDELEY (A. J) - Spatial point processes and their applications. - In : Stochastic Geometry, Ed : W. Weil, pp. 1-75, Springer, (2004).
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(4) - BADDELEY (A. J), GILL (R.D.) - Kaplan – Meier estimations of distance distributions for spatial point processes, - The Annals of Statistics, vol. 25, n° 1, pp. 263-292 (1997).
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(5) - BADDELEY (A. J), MOLCHANOV (I.) - Averaging of random sets based on their distance functions, - Journal of Mathematical Imaging and Vision, Vol. 8, pp. 79-92, (1998).
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