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RÉSUMÉ
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ou dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Ces notions sont souvent présentées séparément et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées . Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque-là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune. De l'analyse fonctionnelle jusqu'aux applications, on comprend comment tout se tient, tout s'enchaîne.
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Claude BREZINSKI : Docteur es Sciences Mathématiques - Professeur Émérite - Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524 - Université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des diverses notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ainsi que dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Elles sont d'habitude présentées séparemment les unes des autres et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées et pourquoi. Le but de cet article est d'apporter, du moins partiellement, quelques éléments de réponse et de servir de lien entre différents articles de ce traité.
Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune.
Nous avons voulu ici, en partant de l'analyse fonctionnelle et en allant jusqu'aux applications, montrer comment tout se tient, tout s'enchaîne. Le but recherché n'est en aucun cas d'essayer d'être exhaustif mais seulement d'illustrer cette idée par quelques exemples le plus souvent déjà étudiés dans d'autres articles. On pourra, en particulier, consulter [AF 190] [AF 191] [AF 106] [AF 1 220] [AF 1 221] [AF 1 111] [AF 508] [AF 101] [AF 1 380] [AF 567] [AF 568] [AF 520] [AF 488] [AF 1 372], les références qui y sont citées ainsi que les nombreux autres articles de ce traité sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. D'autres références de caractère général complètent la bibliographie. Celles en français ont été privilégiées.
Les démonstrations de certains résultats ont été données car elles permettent de mieux saisir les idées.
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6. Applications diverses
Nous allons maintenant examiner différentes applications.
6.1 Méthodes variationnelles pour la résolution des équations
On veut résoudre Lu = f dans un espace de Hilbert H (réel pour simplifier) avec L auto-adjoint et défini positif.
Ce problème est équivalent à celui de la minimisation de la fonctionnelle
dans H. La norme sera définie par
.
Soit Hn un sous-espace de dimension n de H. La méthode de Ritz consiste à trouver un ∊ Hn minimisant J.
Soit φ1,…, φ n une base de Hn . Alors un s'écrit
Le minimum de J sur Hn est atteint si
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BREZINSKI (C.) - Padé – Type Approximation and General Orthogonal Polynomials - ISNM, vol. 50, Birkhäuser-Verlag, Basel (1980).
-
(2) - BREZINSKI (C.) - Projection Methods for Systems of Equations - North-Holland, Amsterdam (1997).
-
(3) - CHARTRES (B.), STEPLEMAN (R.) - A general theory of convergence for numerical methods - SIAM J. Numer. Anal., 9, 476-492 (1972).
-
(4) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l'Analyse Numérique Matricielle et à l'Optimisation - Masson, Paris (1982).
-
(5) - CIARLET (P.G.) - Linear and Nonlinear Functional Analysis With Applications - SIAM, Philadelphia (2013).
-
(6) - CROUZEIX (M.), MIGNOT (A.L.) - Analyse Numérique des Équations Différentielles - 2e éd. Masson, Paris (1989).
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