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1 - RÉSEAUX DE PETRI

2 - MODÉLISATION DES GET DANS L’ALGÈBRE DES DIOÏDES

3 - ÉVALUATION DE PERFORMANCES

4 - ALLOCATION DE RESSOURCES

5 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AG3544 v1

Conclusion
Comportement dynamique des systèmes à événements discrets dans l’algèbre des dioïdes

Auteur(s) : Samir HAMACI

Relu et validé le 26 avr. 2021

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RÉSUMÉ

Cet article s’intéresse au comportement dynamique des systèmes à événements discrets, dans une structure algébrique particulière appelée "algèbre des dioïdes". Cette structure algébrique spécifique permet d’avoir un comportement linéaire d’une catégorie de systèmes modélisables par une classe de réseaux de Petri, mettant en jeu des phénomènes de synchronisation et de délai. Pour de tels systèmes, la question d’évaluation de performances et d’allocation de ressources doit être abordée, après avoir élaboré le modèle mathématique régissant l’évolution de leur dynamique dans l’algèbre des dioïdes.

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ABSTRACT

Dynamic Behavior of Discrete Events Systems in Dioid Algebra

In this article, we study the dynamic behavior of discrete event systems in a particular algebraic structure called dioid algebra. This specific structure enables linear behavior of a category of systems modeled by a class of Petri nets involving synchronization and delay phenomena. For these systems, we build the mathematical model governing their dynamic evolution in dioid algebra, and address the issue of performance evaluation and resource allocation.

Auteur(s)

INTRODUCTION

Contrairement aux systèmes naturels qui obéissent aux lois de la physique, les « Systèmes à événements discrets » (SED) sont des systèmes généralement de création humaine dont le comportement ne peut être décrit par des fonctions continues. Ils sont caractérisés par une dynamique discrète qui évolue dans un ensemble dénombrable fini.

Dans cette classe de systèmes, on retrouve, par exemple :

  • les systèmes manufacturiers, pour lesquels on étudie les flux de matières ;

  • les systèmes de transport ;

  • les systèmes informatiques.

Pour l’étude de ces systèmes, il est nécessaire de disposer de modèles aptes à prendre en compte toutes leurs caractéristiques dynamiques souvent de natures complexes. Or, les phénomènes mis en jeu par les SED et responsables de leur comportement, sont nombreux et de natures diverses : tâches séquentielles ou simultanées, temporisées ou non, synchronisées ou concurrentes. De cette diversité de phénomènes provient l’incapacité de décrire l’ensemble des SED par un modèle unique qui soit à la fois fidèle à la réalité et exploitable mathématiquement.

Plusieurs concepts de modélisation ont été élaborés : par exemple, les chaînes de Markov pour la commande des processus stochastiques , ou les réseaux de Petri déterministes pour l’optimisation de ressources (   ).

Certaines sous-classes de SED, mettant uniquement en jeu des phénomènes de synchronisation et de délai, peuvent être modélisées par une catégorie de réseaux de Petri particuliers, appelés « Graphes d’événements temporisés » (GET). Il a été montré que ces derniers admettent une représentation linéaire dans une structure algébrique particulière, appelée « algèbre des dioïdes » .

L’étude des SED dans l’algèbre des dioïdes, consiste à modéliser le système étudié en premier lieu par un réseau de Petri, puis à établir les équations récurrentes modélisant leur comportement dynamique dans l’algèbre des dioïdes.

Notons que cette dernière offre, dans certains cas, une alternative à l’algèbre usuelle dans laquelle certains problèmes n’y admettent pas de solution.

Dans cet article, après avoir introduit les réseaux de Petri dans le § 2, la modélisation du comportement dynamique de ces systèmes, dans l’algèbre des dioïdes, fera l’objet du § 3. Par la suite, le modèle mathématique établi sera utilisé dans les sections suivantes pour traiter deux problématiques :

  • évaluation de performances : correspond au calcul de certains indicateurs de performances des systèmes de production : le taux de production et le temps de cycle ;

  • allocation de ressources : consiste à optimiser l'allocation de certaines ressources, dans les systèmes de production (exp, optimisation des palettes, des chariots, des moyens de transports, des machines) dans le but d'atteindre des performances souhaitées.

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KEYWORDS

performance   |   resource allocation   |   Discrete Events Systems   |   Petri Net   |   dioid algebra

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-ag3544


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5. Conclusion

Dans cet article, le comportement dynamique des SED dans l’algèbre des dioïdes a été abordé. Pour une catégorie de ces systèmes, qui sont modélisables par des GET, ce comportement peut être représenté par des équations récurrentes linéaires dans cette structure algébrique particulière.

Il s’avère que, lorsque la taille de ces graphes est importante, la théorie utilisée pour les analyser atteint ses limites. L’utilisation des GETG, pour réduire la taille et la complexité de ces modèles, se révèle efficace.

Malheureusement, ces graphes n’admettent pas une représentation linéaire dans l’algèbre des dioïdes, de par la présence des poids sur les arcs. Ces derniers engendrent un comportement non linéaire dans le modèle mathématique régissant l’évolution dynamique de ces graphes dans l’algèbre des dioïdes. Afin d’appliquer certains résultats de base de la théorie utilisée pour l’évaluation de performances des GET, une méthode de linéarisation du modèle mathématique associé au comportement des GETG est présenté, ceci dans le but d’obtenir un GET ordinaire équivalent, pour pouvoir appliquer les résultats de base développés dans le cadre de ces graphes.

Par la suite, cette méthode de linéarisation est utilisée pour optimiser les ressources permettant le pilotage des GETG, dans le but d’obtenir des performances souhaitées.

Ce travail peut apporter des solutions aux ingénieurs dans l’évaluation de performances d’un système manufacturier complexe de taille importante, qui intervient lors de la phase de sa conception, ou bien de son amélioration.

Ce travail permet de fixer, par exemple, le nombre d’en-cours (palettes, chariots…) à utiliser dans le processus goulot qui impose la cadence du travail des systèmes en question. Cette cadence est à fixer selon les performances à atteindre.

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BACCELLI (F.), COHEN (G.), OLSDER (G.-J.), QUADRAT (J.-P.) -   Synchronization and linearity : An Algebra for Discrete Event Systems.  -  Wiley and Sons (1992).

  • (2) - BALBO (G.), SILVA (M.) -   Performance models for discrete event systems with synchronizations.  -  Match Advanced Schools, Editorial Kronos, Zaragoza, Espagne (1998).

  • (3) - BAYNAT (B.) -   Théorie des files d’attentes : des chaines de Markov aux réseaux à forme produit.  -  Ed Hermès (2000).

  • (4) - CHAO (D.), ZHOU (M.), WANG (D.) -   Multiple Weighted Marked Graphs.  -  In IFAC 12th Triennial World Congress, pages 371-374, Sydney, Australie (1993).

  • (5) - CHRÉTIENNE (P.) -   Les réseaux de Petri temporisés.  -  Thèse d’état, Université de Paris VI (1983).

  • (6)...

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