La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.

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Auteur(s)

Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.

Préambule

La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].

La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).

La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIX^e siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).

Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).

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MOTS-CLÉS

théorie des ensembles relation d'ordre treillis piles

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af94

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Espaces ordonnés II

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4. Sous-ensembles particuliers

4.1 Sous-ensembles majorés et minorés

Définition (sous-ensemble majoré et sous-ensemble minoré). Dans un espace partiellement ordonné $(E, ≼)$ un sous-ensemble X non vide est majoré (bounded above) s’il possède un majorant, un sous-ensemble X non vide est minoré (bounded below) s’il possède un minorant, et un sous-ensemble X non vide est encadré (bounded) s’il possède à la fois un minorant et un majorant (ou de manière équivalente, s’il est contenu dans un intervalle).

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4.2 Sous-ensembles bornés

Définition (sous-ensemble borné). Dans un espace partiellement ordonné $(E, ≼)$ un sous-ensemble X non vide est borné supérieurement (least upper bounded above) s’il possède une borne supérieure, un sous-ensemble X non vide est borné inférieurement (great upper bounded below) s’il possède une borne inférieure, et un sous-ensemble X non vide est borné (bounded) s’il possède une borne supérieure et une borne inférieure (ou de manière équivalente, s’il est contenu dans un intervalle).

Un ensemble partiellement ordonné $(E, ≼)$ possède la propriété de la borne supérieure (upper bound property) si toute partie non vide et majorée de E possède une borne supérieure. Un ensemble partiellement ordonné $...$

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