Présentation

Article

1 - ÉQUATION DES ONDES

  • 1.1 - Contexte
  • 1.2 - Résultats globaux
  • 1.3 - Formules explicites
  • 1.4 - Analyse à haute fréquence
  • 1.5 - Application de l’analyse haute fréquence
  • 1.6 - Propriétés spécifiques du problème extérieur et équation d’Helmholtz

2 - ÉQUATIONS DE L’HYDRODYNAMIQUE

3 - MÉCANIQUE MOLÉCULAIRE

  • 3.1 - Équation de Boltzmann
  • 3.2 - De l’équation de Boltzmann aux équations hydrodynamiques
  • 3.3 - Dérivation de l’équation d’Euler compressible
  • 3.4 - Dérivation de l’équation de Navier-Stokes compressible
  • 3.5 - Dérivation de l’équation de Navier-Stokes et d’Euler incompressibles
  • 3.6 - Démonstrations rigoureuses de convergence

4 - DÉRIVATION DES ÉQUATIONS DE CHAMP MOYEN : VLASOV ET SCHRÖDINGER NON LINÉAIRE

5 - ÉQUATION DE KORTWEG ET DE VRIES (KDV) ET SYSTÈMES INTÉGRABLES

  • 5.1 - Contexte
  • 5.2 - Paire de Lax et méthode de Gelfand-Levitan-Marchenko
  • 5.3 - Intégrabilité de l’équation de KdV et systèmes hamiltoniens en dimension infinie
  • 5.4 - Généralisations

6 - ÉQUATIONS DE L’ÉLASTICITÉ

  • 6.1 - Contexte
  • 6.2 - Équations linéarisées et propriétés spécifiques
  • 6.3 - Équation d’Euler-Bernouilli et de Timoshenko

7 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF191 v1

Dérivation des équations de champ moyen : Vlasov et Schrödinger non linéaire
Équations aux dérivées partielles - Partie 2

Auteur(s) : Claude BARDOS, Thierry PAUL

Date de publication : 10 oct. 2010

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RÉSUMÉ

La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.

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ABSTRACT

Solving partial differential equations (PDEs) is at the heart of the understanding of many physical phenomena. From aeronautic simulation to imagery and including weather forecasting, the PDEs are present in many applied fields of engineering and physics. This report analyses certain major equations such as that of Navier-Stokes, Euler, Boltzmann, Helmholtz, Kortweg and De Vries as well as turbulence models.

Auteur(s)

  • Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie

  • Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique

INTRODUCTION

Il s'agit ici de la seconde partie de l'article consacré aux équations aux dérivées partielles. Un guide de lecture en début d'article permet de se repérer aisément dans le présent article et dans l'article [AF 190].

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af191


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4. Dérivation des équations de champ moyen : Vlasov et Schrödinger non linéaire

La dérivation de l’équation de Boltzmann à partir de la mécanique hamiltonienne privilégie les interactions à deux corps entre molécules.

Une situation mathématiquement différente, mais importante pour les problèmes d’électromagnétisme et de plasma, est celle où chaque particule est soumise à la « moyenne des actions des autres ». Cela correspond, dans le cas de la mécanique classique, au système hamiltonien, pour les variables habituelles XN = (x1, x2... xN), VN = (v1, v2... vN),

et, dans le cas de la mécanique quantique, au système :

( 55 )
( 56 )

Les asymptotiques N → ∞ sont décrites, dans le cas classique, par l’équation (cinétique) de Vlasov :

( 57 )

et, dans le cas quantique, par l’équation de Schrödinger Φ-non linéaire :

( 58 )

Toute les équations ci-dessus sont réversibles en temps. Aucune perte de réversibilité n’apparaît dans le passage à la limite, contrairement à ce qui se passe dans la dérivation de l’équation de Boltzmann. Néanmoins, sur...

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Dérivation des équations de champ moyen : Vlasov et Schrödinger non linéaire
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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ARNOL’D (V.) -   Méthodes mathématiques de la mécanique classique  -  MIR, Moscou (1976).

  • (2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) -   Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser  -  InterÉditions-CNRS, Paris (1991).

  • (3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) -   The Schrödinger equation  -  Kluwer, London (1991).

  • (4) - BREZIS (H.) -   Analyse fonctionnelle : théorie et applications  -  Masson, Paris (1983).

  • (5) - CERCIGNANI (C.) -   Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms  -  Oxford University Press, Oxford (1998).

  • (6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) -   Methods of mathematical physics  -  Interscience Publishers, New-York (1953).

  • ...

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