Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Solving partial differential equations (PDEs) is at the heart of the understanding of many physical phenomena. From aeronautic simulation to imagery and including weather forecasting, the PDEs are present in many applied fields of engineering and physics. This report analyses certain major equations such as that of Navier-Stokes, Euler, Boltzmann, Helmholtz, Kortweg and De Vries as well as turbulence models.
Auteur(s)
-
Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
-
Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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Équations de l’élasticité5. Équation de Kortweg et De Vries (KdV) et systèmes intégrables
5.1 Contexte
L’origine de l’équation de KdV remonte à une observation de Scott Russell, en 1865, qui remarqua sur un canal une onde de surface créée par le choc de deux péniches. Il fut frappé par la stabilité de l’onde émise et raconte qu’il put la suivre à cheval pendant plusieurs kilomètres. En 1895 Kortweg et De Vries obtinrent à l’aide de méthodes asymptotiques l’équation
On peut vérifier à la main que toute onde de la forme
satisfait bien l’équation (61).
Les solutions de la forme u(x, t) = U(x − ct) sont appelées solitons. L’existence et la stabilité de ce type de solutions qui se propagent sans se déformer peut s’expliquer par la compétition entre le terme u∂xu qui conduit à des ondes de chocs (comme pour l’équation de Burger voir [AF 190]) et le terme
qui produit un effet de dispersion. Il est important de remarquer, dans la formule (61), que la vitesse de l’onde dépend de sa taille, ce qui est fondamentalement différent de la propagation dans les problèmes linéaires.
Les propriétés qualitatives des solutions solitoniques de cette équation furent tout d’abord découvertes par des simulations numériques (parmi les premières...
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Équation de Kortweg et De Vries (KdV) et systèmes intégrables
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
-
(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
-
(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
-
(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
-
(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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