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RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
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Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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5. Équation de Kortweg et De Vries (KdV) et systèmes intégrables
5.1 Contexte
L’origine de l’équation de KdV remonte à une observation de Scott Russell, en 1865, qui remarqua sur un canal une onde de surface créée par le choc de deux péniches. Il fut frappé par la stabilité de l’onde émise et raconte qu’il put la suivre à cheval pendant plusieurs kilomètres. En 1895 Kortweg et De Vries obtinrent à l’aide de méthodes asymptotiques l’équation
On peut vérifier à la main que toute onde de la forme
satisfait bien l’équation (61).
Les solutions de la forme u(x, t) = U(x − ct) sont appelées solitons. L’existence et la stabilité de ce type de solutions qui se propagent sans se déformer peut s’expliquer par la compétition entre le terme u∂xu qui conduit à des ondes de chocs (comme pour l’équation de Burger voir [AF 190]) et le terme...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
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(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
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(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
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(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
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(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
-
(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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