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RÉSUMÉ
La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est au cœur de la compréhension de nombreux phénomènes physiques. De la simulation aéronautique à l'imagerie, en passant par la prévision météorologique, les EDP sont présentes dans de nombreux domaines appliqués de l'ingénierie et de la physique. Dans ce dossier, seront analysés certaines équations importantes, comme par exemple celles de Navier-Stokes, d'Euler, de Boltzmann, d'Helmholtz, de Kortweg et de De Vries, ou encore des modèles de turbulence.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Claude BARDOS : Professeur émériteLaboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie
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Thierry PAUL : Directeur de recherche CNRSCentre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
INTRODUCTION
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2. Équations de l’hydrodynamique
2.1 Contexte
Les équations de la mécanique des fluides occupent une place privilégiée dans la théorie des équations aux dérivées partielles pour les raisons suivantes :
1) La facilité à observer l’évolution des fluides. Cette observation se retrouve chez de nombreux auteurs et, en particulier, les commentaires de Léonard de Vinci sur la turbulence sont un classique de la discipline.
doue la turbulence dellacqua sigenera
doue la turbolenza dellacqua simantiene plugho
doue la turbolenza dellacqua si posa.
La construction de navires ou d’ouvrages hydrauliques a stimulé une approche analytique du sujet. L’appel de Frédéric II à Euler (inventeur des équations fondamentales de la mécanique des fluides) pour résoudre les problèmes techniques posés par les fontaines du château de Sans souci en est un exemple ;
2) L’introduction, à la fin du 19e siècle et au début du 20e siècle par Maxwell et Boltzmann, des équations cinétiques, puis l’étude de leur relations avec les équations macroscopiques de la mécanique des fluides (cf. section 4) ;
3) Enfin l’aspect universel des équations de la mécanique des fluides qui, par leur nature non linéaire et les propriétés qui en découlent (apparition de singularités, instabilités, bifurcation d’états stationnaires et instabilités) sont des modèles pour l’étude d’autres équations aux dérivées partielles. Cette dernière observation explique l’accent mis par la communauté mathématique sur la résolution des équations de Navier-Stokes, objet d’un prix Clay.
Différentes équations apparaissent selon le degré de détail avec lesquels on examine les phénomènes. En allant...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ARNOL’D (V.) - Méthodes mathématiques de la mécanique classique - MIR, Moscou (1976).
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(2) - ALINHAC (S.), GERARD (P.) - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser - InterÉditions-CNRS, Paris (1991).
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(3) - BEREZIN (F.), SHUBIN (M.) - The Schrödinger equation - Kluwer, London (1991).
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(4) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle : théorie et applications - Masson, Paris (1983).
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(5) - CERCIGNANI (C.) - Ludwig Boltzmann : the man who trusted atoms - Oxford University Press, Oxford (1998).
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(6) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of mathematical physics - Interscience Publishers, New-York (1953).
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